Курс функционального анализа является базовым курсом и призван познакомить слушателей с основами теории функциональных пространств и линейных операторов в них. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными и математической физики. В пятом семестре изучаются общие банаховы пространства и линейные функционалы и операторы в них. Доказываются основные принципы линейного анализа: теоремы Хана–Банаха, Банаха–Штейнгауза и Банаха об обратном операторе. Рассматриваются компактные операторы. Для нелинейных отображений устанавливаются  теоремы Банаха и Шаудера о неподвижных точках. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с функциональными пространствами с различными нормами и линейными и нелинейными отображениями таких пространств

Список всех тем лекций

Лекция 1. Метрические пространства.
Структура курса Основные понятия Отображения метрических пространств Свойства полных метрических пространств Теорема о сжимающем отображении Критерий полноты метрического пространства

Лекция 2. Метрические и нормированные пространства.
Свойства полных метрических пространств Теорема Бэра Нормированные пространства Пополнение метрических пространств Вопрос о дополняемости банаховых пространств Базис в банаховых пространствах Евклидовы и гильбертовы пространства

Лекция 3. Евклидовы и гильбертовы пространства.
Свойства евклидовой нормы Существование ортогональной проекции и ортогонального дополнения в гильбертовом пространстве Ортонормированные системы в евклидовых и гильбертовых пространствах Неравенство Бесселя Теорема Рисса-Фишера Полные и замкнутые системы Условия базисности ортонормированной системы

Лекция 4. Базисные системы в гильбертовом пространстве. Компактные и предкомпактные множества в метрическом пространстве.
Теорема Различие гильбертовых пространств (Гейзенберга - Шрёдингера) Теорема (об изоморфизме гильбертовых пространств) Предкомпактные множества Критерий компактности Хаусдорфа Лемма о почти перпендикуляре

Лекция 5. Компактные и предкомпактные множества в нормированном пространстве. Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах.
Критерии предкомпактности множеств в конкретных нормированных пространствах Лемма Дини Теорема 1 Равностепенно непрерывное множество (определение, свойства) Теорема 2 Теорема 3 Линейные операторы Нормированные над одним полем Ограниченный оператор Как можно вычислять норму

Лекция 6. Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах.
Теорема (пространство ограниченных операторов) Продолжение оператора Теорема Хана - Банаха Следствия из теоремы

Лекция 7. Сопряжённые пространства к конкретным нормированным. Часть 1.
Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3

Лекция 8. Сопряжённые пространства к конкретным нормированным. Часть 2.
Теорема 1 Сопряжённое пространство к гильбертову Теорема Рисса Сходимости в нормированных пространствах

Лекция 9. Слабые топологии. Принцип двойственности. Сопряжённые операторы в нормированных пространствах.
База топологии (определение) Открытые множества (определение) Утверждение Непрерывные функционалы Слабая сходимость Сопряжённые операторы Теорема Самосопряжённые операторы

Лекция 10. Теорема Банаха-Штейнгауза. Компактные операторы и их свойства. Часть 1.
Случай гильбертова пространства Лемма Теорема Банаха-Штейнгауза Слабо ограниченное множество Свойства функционалов Компактные операторы Утверждение Свойства компактных операторов

Лекция 11. Компактные операторы и их свойства. Часть 2. Обратные операторы.
Теорема Интегральные операторы и их компактность Обратные операторы Теорема об открытом отображении Теорема Банаха об обратном операторе

Лекция 12. Спектр ограниченного оператора. Часть 1.
Теорема о замкнутом графике Устойчивость обратимости оператора Спектр ограниченного оператора Классификация спектра Свойства спектра ограниченного оператора Связь спектра оператора и сопряжённого оператора

Лекция 13. Спектр ограниченного оператора. Часть 2.
Подобие операторов Последовательность Вейля Теорема (о спектре оператора) Теорема Спектр самосопряжённого оператора

Лекция 14. Спектральный радиус оператора. Теорема Гильберта-Шмидта.
Спектральный радиус оператора Теорема об отображении спектра Теорема Спектральный радиус самосопряжённого оператора Необходимые определения Утверждение Теорема

Лекция 15. Теорема Гильберта-Шмидта.
Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Теорема Гильберта-Шмидта