Курс функционального анализа является базовым курсом и призван познакомить слушателей с основами теории функциональных пространств и линейных операторов в них. Эти знания необходимы для освоения современной теории вероятностей, теории случайных процессов, теории уравнений с частными производными и математической физики. В пятом семестре изучаются общие банаховы пространства и линейные функционалы и операторы в них. Доказываются основные принципы линейного анализа: теоремы Хана–Банаха, Банаха–Штейнгауза и Банаха об обратном операторе. Рассматриваются компактные операторы. Для нелинейных отображений устанавливаются теоремы Банаха и Шаудера о неподвижных точках. В результате освоения курса слушатели научатся обращаться с функциональными пространствами с различными нормами и линейными и нелинейными отображениями таких пространств
Список всех тем лекций
Лекция 1. Метрические пространства.
Структура курса
Основные понятия
Отображения метрических пространств
Свойства полных метрических пространств
Теорема о сжимающем отображении
Критерий полноты метрического пространства
Лекция 2. Метрические и нормированные пространства.
Свойства полных метрических пространств
Теорема Бэра
Нормированные пространства
Пополнение метрических пространств
Вопрос о дополняемости банаховых пространств
Базис в банаховых пространствах
Евклидовы и гильбертовы пространства
Лекция 3. Евклидовы и гильбертовы пространства.
Свойства евклидовой нормы
Существование ортогональной проекции и ортогонального дополнения в гильбертовом пространстве
Ортонормированные системы в евклидовых и гильбертовых пространствах
Неравенство Бесселя
Теорема Рисса-Фишера
Полные и замкнутые системы
Условия базисности ортонормированной системы
Лекция 4. Базисные системы в гильбертовом пространстве. Компактные и предкомпактные множества в метрическом пространстве.
Теорема
Различие гильбертовых пространств (Гейзенберга - Шрёдингера)
Теорема (об изоморфизме гильбертовых пространств)
Предкомпактные множества
Критерий компактности Хаусдорфа
Лемма о почти перпендикуляре
Лекция 5. Компактные и предкомпактные множества в нормированном пространстве. Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах.
Критерии предкомпактности множеств в конкретных нормированных пространствах
Лемма Дини
Теорема 1
Равностепенно непрерывное множество (определение, свойства)
Теорема 2
Теорема 3
Линейные операторы
Нормированные над одним полем
Ограниченный оператор
Как можно вычислять норму
Лекция 6. Линейные ограниченные операторы и функционалы в нормированных пространствах.
Теорема (пространство ограниченных операторов)
Продолжение оператора
Теорема Хана - Банаха
Следствия из теоремы
Лекция 7. Сопряжённые пространства к конкретным нормированным. Часть 1.
Теорема 1
Теорема 2
Теорема 3
Лекция 8. Сопряжённые пространства к конкретным нормированным. Часть 2.
Теорема 1
Сопряжённое пространство к гильбертову
Теорема Рисса
Сходимости в нормированных пространствах
Лекция 9. Слабые топологии. Принцип двойственности. Сопряжённые операторы в нормированных пространствах.
База топологии (определение)
Открытые множества (определение)
Утверждение
Непрерывные функционалы
Слабая сходимость
Сопряжённые операторы
Теорема
Самосопряжённые операторы
Лекция 10. Теорема Банаха-Штейнгауза. Компактные операторы и их свойства. Часть 1.
Случай гильбертова пространства
Лемма
Теорема Банаха-Штейнгауза
Слабо ограниченное множество
Свойства функционалов
Компактные операторы
Утверждение
Свойства компактных операторов
Лекция 11. Компактные операторы и их свойства. Часть 2. Обратные операторы.
Теорема
Интегральные операторы и их компактность
Обратные операторы
Теорема об открытом отображении
Теорема Банаха об обратном операторе
Лекция 12. Спектр ограниченного оператора. Часть 1.
Теорема о замкнутом графике
Устойчивость обратимости оператора
Спектр ограниченного оператора
Классификация спектра
Свойства спектра ограниченного оператора
Связь спектра оператора и сопряжённого оператора
Лекция 13. Спектр ограниченного оператора. Часть 2.
Подобие операторов
Последовательность Вейля
Теорема (о спектре оператора)
Теорема
Спектр самосопряжённого оператора
Лекция 14. Спектральный радиус оператора. Теорема Гильберта-Шмидта.
Спектральный радиус оператора
Теорема об отображении спектра
Теорема
Спектральный радиус самосопряжённого оператора
Необходимые определения
Утверждение
Теорема
Лекция 15. Теорема Гильберта-Шмидта.
Лемма 1
Лемма 2
Лемма 3
Теорема Гильберта-Шмидта
![Функциональный анализ. Лекции. Часть 1](/img/hd/course/functional-analysis-lectures-sheypak.jpg?491)