Курс "Дифференциальная геометрия и топология" читается на механико-математическом факультете МГУ в 4 семестре. Это вторая часть стандартного курса дифференциальной геометрии и топологии (первая часть - "Классическая дифференциальная геометрия") для механиков 2-го курса.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Тензоры и тензорные поля.
Гладкая функция Касательный вектор Билинейная форма Линейные функционалы Двойственное пространство Тензор (тензорное поле) Обозначения в тензорном анализе Закон преобразования компонент вектора Тензорный закон Тензорное поле Лемма Инвариантное определение тензора Лемма (о полилинейных отображениях) Теорема (координатное и инвариантное определения тензора эквивалентны) Теорема о линейном пространстве

Лекция 2. Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями.
Тензоры и тензорные поля (повторение материала предыдущей лекции) Алгебраические операции над тензорами и тензорными полями Линейные комбинации Перестановка индексов одного типа Свёртка Тензорное произведение Операция опускания и поднятия индексов Симметрирование и альтернирование Обозначения

Лекция 3. Алгебра внешних дифференциальных форм.
Кососимметрические тензоры Дифференциальные формы Косая симметрия Формы и отображения Внешнее дифференцирование Корректность определений

Лекция 4. Интегрирование форм.
Внешние дифференциальные формы (повторение материала предыдущей лекции) Внешнее дифференцирование Свойства внешнего дифференцирования Интегрирование форм Разбиение единицы Свойства интеграла Формула Стокса Многообразия с краем Теорема Теорема (если М- гладкое ориентированное многообразие, то тогда его край тоже ориентированное многообразие) Каноническая ориентация края

Лекция 5. Формула Стокса.
Многообразие с краем (повторение материала предыдущей лекции) Теорема Стокса Риманова метрика Интегрирование функций Формулы векторного анализа Формула Грина Формула Остроградского - Гаусса Поток векторного поля через поверхность М Формула Стокса Группы когомологий

Лекция 6. Когомологии.
Когомологии де Рама Факторгруппы Примеры Лемма Теорема о гомоморфизме Когомологии и отображения Лемма Свойства отображений Гомотопии и гомотопическая эквивалентность Теорема (когомологии и отображения) Лемма

Лекция 7. Ковариантное дифференцирование.
Теорема (когомологии и отображения) Лемма Пуанкаре Симплектическая геометрия Свойства симплектических многообразий Ковариантное дифференцирование Аффинные связности Операция тензорного дифференцирования

Лекция 8. Риманова связность.
Аффинные связности Ковариантное дифференцирование векторного поля Свойства ковариантного дифференцирования Теорема о "единственности" ковариантного дифференцирования Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Лемма 4 Риманова связность Теорема (на любом римановом многообразии существует единственная риманова связность) Свойство римановой связности

Лекция 9. Приложения аффиных связностей.
Параллельный перенос в аффинной связности Примеры Геодезические в аффинных связностях Нормальные координаты

Лекция 10. Коммутатор векторных полей.
Евклидовы координаты Коммутатор векторных полей Свойства коммутатора Оператор кривизны Симметрические связности Симметрия тензора Римана

Лекция 11. Тензор Римана.
Симметрия тензора Римана Независимые компоненты тензора Римана Лемма Свёртка тензора кривизны Поток Риччи Скалярная кривизна двумерной поверхности Теорема

Лекция 12. Степень отображения.
Степень отображения Теорема (степень отображения не зависит от выбора регулярных значений и не меняется при гомотопии) Лемма 1 Лемма 2 Теорема о "еже" Основная теорема алгебры Гомотопия

Лекция 13. Следствия из теоремы о степени отображения.
Степень отображения Теорема  Степень и интеграл Формула Гаусса-Бонне Гауссово отображение Лемма Гауссово пространство в двумерном случае Индексы векторных полей Теорема (об изолированности особых точек) Теорема Брауэра