Курс лекций «Дифференциальные уравнения» читается для студентов второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Курс знакомит с видами дифференциальных уравнений и методами их решений, геометрической интерпретацией уравнения первого порядка, с первыми интегралами, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе с постоянными и периодическими коэффициентами, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, их непрерывности и дифференцируемости по параметру, устойчивости по Ляпунову.  Рассматриваются также вопросы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка, теорема об альтернативе, периодические системы дифференциальных уравнений.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в дифференциальные уравнения.
Определение дифференциального уравнения и смежные определения Определение поля направлений Решение дифференциального уравнения Определение интегральной кривой  Примеры интегральной кривой Эквивалентность уравнения в дифференциалах и обычного дифференциального уравнения 

Лекция 2. Виды дифференциальных уравнений.
Продолжение доказательства с прошлой лекции Уравнение первообразной и его решение Теорема об общем решении интегрального уравнения Примеры интегралов Уравнение в полных дифференциалах и его свойства Автономные уравнения Определение точки единственности и существования

Лекция 3. Задача Коши.
Лемма о точках единственности Пример применения леммы к эксперименту с остыванием тела Пример применения леммы к эксперименту вытекание жидкости Уравнения с разделяющимися переменными и его решение Однородные уравнения и их решения Существование и единственность решений задачи Коши Эквивалентная задаче Коши задача

Лекция 4. Задача Коши.
Доказательство эквивалентности задач Обобщение теоремы Лагранжа на многомерное пространство

Лекция 5. Задача Коши.
Завершение доказательства теоремы об эквивалентности задач и пример применения Вариации условий теоремы существования и единственности Теорема глобального решения  Продолжаемость Лемма о продолжаемости решения и следствие из нее

Лекция 6. Системы дифференциальных уравнений.
Теорема о продолжаемости решения  Пример применения теоремы о продолжаемости решения  Линейная система дифференциальных уравнений Лемма об интегральном неравенстве (Гронуолла-Беллмана) Лемма о дифференциальном неравенстве  Доказательство теоремы о решении линейной системы

Лекция 7. Обобщенные дифференциальные уравнения.
Определение обобщенного дифференциального уравнения n-го порядка Каноническая замена и её свойства Теорема о изоморфности замены  Локальная теорема единственности уравнения n-го порядка Глобальная теорема единственности уравнения n-го порядка Теорема о продолжаемости решения уравнения n-го порядка Линейное неоднородное уравнение n-го порядка Существование и единственность непродолжаемости решение неоднородного уравнения Уравнения неразрешенные относительно производной Теорема существования и единственности уравнения неразрешенного относительно производной Определение дискриминантного множества Теорема о связи дискриминантного множества и особого решения

Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения.
Расширенная задача Коши Доказательство теоремы о связи дискриминантного множества и особого решения Нахождение дискриминантного множества для пример вытекания воды Уравнения колебаний маятника  Общая теория линейных дифференциальных уравнений Теорема об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Следствие из теоремы об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Оператор Коши Лемма о корректном определении оператора

Лекция 9. Методы решения дифференциальных уравнений.
Матрица решений дифференциального уравнения Лемма о свойствах матрицы решений Матрица Коши и ее свойства Удовлетворение оператора Коши задачи Коши Определитель Вронского Теорема об эквивалентности утверждений о линейной зависимости  Формула Ляувиля-Остроградского Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений Метод вариации постоянной 

Лекция 10. Краевая задача для уравнения второго порядка.
Доказательство эквивалентности уравнений Теорема об изоморфности множества решений неоднородного уравнения и n-мерного пространства и следствие из нее Следствие из теоремы Метод вариации постоянных Определитель Вронского для линейных уравнений Формула Ляувиля-Остроградского для линейных уравнений Теорема о фундаментальной системе решений для линейных дифференциальных уравнений Теорема о связи линейной зависимости и определителя Вронского Постановка краевой задачи для уравнения второго порядка Определение вырожденной и невырожденной краевой задачи

Лекция 11. Теорема об альтернативе.
Формулировка и доказательство теорема об альтернативе Нули решений однородного уравнения второго порядка Перемежающиеся нули решения Теорема о расположениях нулей однородного уравнения Теорема сравнения (Штурма) и следствия Лемма о приведении уравнения к более простому виду Примеры применения теоремы штурма Уравнение маятника

Лекция 12. Методы решения линейного дифференциального уравнения.
Определение экспоненты от матрицы Лемма о равномерной сходимости ряда экспоненты Теорема о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами  Следствия из теоремы о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами Расширение теоремы на комплексной плоскости Напоминание свойств жордановой клетки Вычисление экспоненты от матрицы Теорема о комплексных решениях  Определение векторного квазимногочлена

Лекция 13. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения.
Теорема о методе неопределенных коэффициентов Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами Применение теоремы о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами для уравнения колебания маятника Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Определение резонанса кратности К Теорема о существовании и единственности решения в случае резонанса Применение теоремы к уравнению колебания маятника

Лекция 14. Периодические системы дифференциальных уравнений.
Определение периодических систем дифференциальных уравнений Определение оператора монодромии Определение мультприликатора Лемма о решениях периодических систем дифференциальных уравнений Задача о поиске периодических решениях Теорема о невырожденности задачи Определение логарифма от матрицы Логарифм от жордановой клетки Формулировка теоремы Флаке-Ляпунова