Список всех тем лекций

Семинар 1. Мощность множеств. Малые множества. Сигма-идеалы. Множество Кантора.
Интеграл Лебега (основная идея) Операции над множествами Счетные и несчетные множества (примеры) Множество строгих максимумов функции Множество меры 0 Множество I категории по Бэру Комментарий про меру Жордана Модификация множества Кантора Задание на дом

Семинар 2. Борелевские классы. Эквивалентные определения кольца. Сигма-аддитивная мера.
Множество нестрогих максимумов не более чем счетно (разбор задачи) Множество букв Т на плоскости не более чем счетно (разбор задачи) Пример множества меры 0, которое не является множеством I категории (разбор задачи) Задача на дом (счетность множества точек разрыва I рода) Борелевские классы Множество рациональных точек не принадлежит счетному пересечению открытых множеств (первому борелевскому классу) Невозможность построения функции, непрерывной в рациональных и разрывной в иррациональных точках Задачи на дом (на борелевские классы) Эквивалентные определения кольца (разбор задачи) Задача на дом (показать, что кольцо является полукольцом) Площадь прямоугольника является сигма-аддитивной мерой (задача на дом, начало решения)

Семинар 3. Борелевские классы. Сигма-аддитивность меры. Непрерывность меры сверху (снизу).
Множество разрывов I рода не более чем счетно (разбор задачи) борелевскому классу (разбор задачи) Задачи на дом (борелевские классы для множества точек сходимости функциональной последовательности и неограниченной расходимости последовательности непрерывных функций) Сигма-аддитивность площади как меры на полукольце прямоугольников (разбор задачи) Пример полукольца с мерой, которая не является сигма-аддитивной Задача на дом (дополнительное условие, при котором мера Стилтьеса сигма-аддитивна) Эквивалентность сигма-аддитивности и непрерывности меры сверху (снизу) Задача на дом (приближение с заданной точностью измеримого множества открытыми и замкнутыми множествами)