Курс «Математический анализ. Часть III» читается студентам второго курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 3 семестре.

В третьей части курса лекций по математическому анализу рассматриваются следующие вопросы:

1. Скалярные и векторные поля.
2. Ряды.
3. Несобственные интегралы.
4. Интегралы, зависящие от параметра.
5. Ряды и интегралы Фурье.
6. Обобщенные функции.

Понятия математического анализа используются затем во всех последующих математических дисциплинах, а также в курсах общей и теоретической физики. Поэтому активное изучение учащимися курса анализа позволяет заложить фундамент для успешного восприятия более сложных понятий и в математике, и в различных разделах современной теоретической физики.

Излагаемый в данном курсе материал полностью соответствует действующей программе по математическому анализу для физических специальностей. При рассмотрении многих вопросов особое внимание уделяется приложениям математических понятий и утверждений в физике.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Скалярные и векторные поля. Часть 1.
Основные понятия и формулы Локальные характеристики векторного поля Интегральные характеристики векторного поля Потенциальные векторные поля

Лекция 2. Скалярные и векторные поля. Часть 2.
Потенциальные векторные поля Соленоидальные векторные поля Оператор Гамильтона

Лекция 3. Скалярные и векторные поля. Часть 3.
Оператор Гамильтона Операции векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах Параметры Ламе

Лекция 4. Ряды. Часть 1.
Критерий Коши сходимости ряда Теорема о линейной комбинации рядов Ряды с положительными членами Признак сравнения Признак Даламбера Признак Коши Интегральный признак Коши-Маклорена

Лекция 5. Ряды. Часть 2.
Знакопеременные ряды Признак Дирихле Признак Абеля Признак Лейбница

Лекция 6. Ряды. Часть 3.
Сочетательное свойство рядов Перестановочное свойство рядов Функциональные последовательности Функциональные ряды

Лекция 7. Ряды. Часть 4.
Функциональные последовательности и ряды Мажорантный признак Вейерштрасса сходимости функциональных рядов Признак Дирихле и Абеля Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Лекция 8. Ряды. Часть 5.
Переход к пределу под знаком интеграла и почленное интегрирование ряда Переход к пределу под знаком производной и почленное дифференцирование ряда

Лекция 9. Ряды. Сходимость в среднем. Теорема Арцела.
Сходимость в среднем Теорема Арцела Несобственные интегралы первого рода Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода

Лекция 10. Несобственные интегралы. Часть 1.
Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого рода Признак сравнения Признак Дирихле Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов первого рода

Лекция 11. Несобственные интегралы. Часть 2.
Несобственные интегралы второго рода Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода Признак сравнения Главное значение несобственных интегралов Кратные несобственные интегралы

Лекция 12. Несобственные интегралы. Часть 3.
Кратные несобственные интегралы Интегралы, зависящие от параметра Собственные интегралы, зависящие от параметра

Лекция 13. Интегралы, зависящие от параметров. Часть 1.
Собственные интегралы, зависящие от параметра Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов первого рода, зависящих от параметра

Лекция 14. Интегралы, зависящие от параметра. Часть 2.
Теорема о непрерывности несобственного интеграла,зависящего от параметра Теорема об интегрировании несобственного интеграла по параметру Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру Вычисление несобственных интегралов с помощью дифференцирования по параметру

Лекция 15. Интегралы, зависящие от параметров. Часть 3.
Разрывный множитель Дирихле О несобственных интегралах второго рода, зависящих от параметра Интегралы Эйлера Свойства гамма-функции Свойства бета-функции Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметров

Лекция 16. Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметров. Ряды и интегралы Фурье.
Кратные интегралы, зависящие от параметра Равномерная сходимость несобственных интегралов Ряды и интегралы Фурье

Лекция 17. Ряды и интегралы Фурье. Часть 2.
Тригонометрический ряд Фурье Кусочно-непрерывные и кусочно-гладкие функции Теорема о сходимости ряда Фурье

Лекция 18. Ряды и интегралы Фурье. Часть 3.
Теорема о сходимости ряда Фурье (продолжение) Ряд Фурье в комплексной форме Ряд Фурье в бесконечномерном евклидовом пространстве

Лекция 19. Ряды и интегралы Фурье. Часть 4.
Ряд Фурье в бесконечномерном евклидовом пространстве Замкнутые и полные ортогональные системы Необходимое и достаточное условие замкнутости ортонормированной системы Геометрический смысл равенства Парсеваля Теорема о связи замкнутой и полной систем Равномерная сходимость и почленное дифференцирование тригонометрического ряда Фурье

Лекция 20. Ряды и интегралы Фурье. Часть 5.
Равномерная сходимость и почленное дифференцирование тригонометрического ряда Фурье (продолжение) Равномерная аппроксимация непрерывной на сегменте функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами Замкнутость тригонометрической системы

Лекция 21. Ряды и интегралы Фурье. Часть 6.
Интеграл Фурье Вывод формулы интеграла Фурье Преобразование Фурье Косинус-преобразование Фурье и обратное косинус-преобразование Фурье Синус-преобразование Фурье и обратное синус-преобразование Фурье

Лекция 22. Обобщённые функции. Часть 1.
Пространство обобщенных функций Функционал Регулярные и сингулярные обобщенные функции

Лекция 23. Обобщённые функции. Часть 2.
Повторение прошлой лекции Локальные свойства обобщенных функций Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую функцию Линейная замена переменной в обобщенных функциях Дифференцирование обобщенных функций