Войти
Математика 31 лекция
Аналитическая геометрия
Лектор
Дынников Иван Алексеевич
#лекции
Механико-математический факультет
I семестр
2022

Список всех тем лекций

Лекция 1. Конические сечения и их геометрические свойства.
Немного о курсе Круговой конус Сферы Данделена Оптические свойства коник Аналитические определения коник

Лекция 2. Полярные координаты. Директориальные свойства коник. Уравнение коник в обобщенных полярных координатах.
Эквивалентность аналитических и геометрических определений коник Асимптоты гиперболы Формулы поворота и отражения Директориальное свойство коник Обобщенная полярная система координат

Лекция 3. Аффинные системы координат и скалярное произведение.
Линейная зависимость векторов Базисы и координаты Реперы и аффинные системы координат Деление отрезка в данном отношении Линейные функции и скалярное произведение

Лекция 4. Матрица Грама. Площадь и объем. Матрица перехода. Ориентация базисов.
Скалярное произведение (повторение) Матрица Грама Выражение площади параллелограмма и объема параллелепипеда через определитель матрицы Грама Определитель матрицы Грама неотрицателен Матрица перехода  Геометрический смысл определителя матрицы перехода Ориентация базисов

Лекция 5. Ориентированные площадь и объем. Векторное и смешанное произведения.
Ориентация базисов (продолжение) Ориентированные площадь и объем Непрерывная деформируемость одинаково ориентированных базисов Векторное и смешанное произведения Формула для векторного произведения Указание для доказательства тождества Якоби

Лекция 6. Поворот вокруг вектора в пространстве. Двойственный базис.
Скалярное, смешанное и векторное произведения через кососимметрические матрицы Ортогональная проекция вектора на вектор Поворот вокруг вектора в пространстве Двойственный базис

Лекция 7. Сферическая геометрия.
Многоугольник на сфере, его углы и длины сторон Теоремы синусов и косинусов на сфере Вывод теоремы синусов Вывод теоремы косинусов Площадь сферического многоугольника как угловой дефект

Лекция 8. Прямые и плоскости.
Ранг Параметрическое задание прямой Задание прямой общими уравнениями на плоскости и в пространстве Параметрическое задание плоскости Задание плоскости общим уравнением Полупространства Аффинная классификация

Лекция 9. Аффинная классификация прямых и плоскостей. Пучки и связки.
Аффинная эквивалентность Аффинная классификация пар прямых на плоскости Аффинная классификация пар прямых в пространстве Аффинная классификация пар плоскостей в пространстве Пучки прямых на плоскости Пучки плоскостей в пространстве Связки прямых и плоскостей в пространстве Поиск геометрического смысла Ортогональная классификация

Лекция 10. Формулы для расстояний и углов. Замена аффинных координат.
Лемма о нормали к прямой Расстояние от точки до прямой на плоскости Расстояние между параллельными прямыми на плоскости Расстояние со знаком Аналогичные формулы для плоскостей в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямыми Угол, смотрящий на точку Угол между плоскостями Формула перехода между аффинными системами координат Ортогональные матрицы

Лекция 11. Ортогональные матрицы. Кривые и поверхности второго порядка.
Ортогональные матрицы (продолжение) Углы Эйлера Преобразование кососимметричных матриц в ортогональные Инвариантность степени многочлена при аффинном преобразовании Кривые и поверхности второго порядка Вырожденные многочлены

Лекция 12. Приведение к каноническому виду. Ортогональные инварианты.
Вырожденные многочлены (продолжение) Приведение многочлена второй степени к каноническому виду Ортогональные инварианты многочлена второй степени

Лекция 13. Ортогональные инварианты. Классификации кривых и поверхностей второго порядка.
Ортогональные инварианты многочлена второй степени (продолжение) Ортогональная классификация кривых второго порядка Ортогональная классификация поверхностей второго порядка Аффинная классификация кривых второго порядка

Лекция 14. Метод Лагранжа. Индексы инерции.
Аффинная классификация поверхностей второго порядка Метод Лагранжа Аффинные инварианты многочлена второй степени Индексы инерции квадратичной части однородного многочлена второй степени Частные производные Формула Тейлора для многочлена

Лекция 15. Асимптотические направления. Диаметры.
Асимптотические направления и их геометрический смысл Диаметры Сопряженные диаметры Главные направления

Лекция 16. Главные направления и оси симметрии. Центры кривых и поверхностей.
Главные направления (продолжение) Главные диаметры - оси симметрии Центры кривых и поверхностей второго порядка Особые точки Определения касательной прямой и касательной плоскости

Лекция 17. Касательные. Сечение поверхности касательной плоскостью. Образующие.
Касательные прямые, касательные плоскости (продолжение) Сечение поверхности второго порядка касательной плоскостью Образующие однополостного гиперболоида Образующие гиперболического параболоида точек Формулировка теоремы Паскаля Вопросы

Лекция 18. Теоремы Паскаля и Брианшона. Поляры. Сечения поверхностей.
Теорема Паскаля Поляра и полюс Построение поляры одной линейкой Теорема Брианшона Плоские сечения поверхности второго порядка Общий вид поверхности с данным сечением Общий вид плоскостей, образующих в сечении окружность

Лекция 19. Сечения поверхностей. Стереографическая проекция.
Общий вид плоскостей, образующих в сечении окружность (продолжение) Нахождение канонического вида сечения Нахождение ортогональных инвариантов сечения по уравнениям поверхности и плоскости Стереографическая проекция для сферы и двуполостного гиперболоида вращения Стереографическая проекция сферы сохраняет углы пересечения окружностей Конформные преобразования

Лекция 20. Аффинные преобразования.
Определение аффинного преобразования Запись аффинного преобразования в координатах Другие определения аффинного преобразования Изменение матрицы аффинного преобразования при замене координат Физический смысл определителя матрицы аффинного преобразования

Лекция 21. Изометрии. Классификация изометрий плоскости.
Определение изометрического преобразования Критерии изометричности преобразования Классификация изометрий плоскости, теорема Шаля Классификация изометрий пространства

Лекция 22. Классификация изометрий пространства. Кватернионы. Сжатие - растяжение.
Классификация изометрий пространства (продолжение) Кватернионы Сжатия - растяжения

Лекция 23. Подобие. Проективная прямая и ее проективное преобразование.
Строение произвольного аффинного преобразования Преобразование подобия Преобразование подобия комплексной прямой Пополненная прямая и двойное отношение Проективная прямая Проективное преобразование прямой и его общий вид

Лекция 24. Преобразования проективной плоскости. Проективная система координат.
Проективное преобразование прямой и его общий вид (продолжение) Пополненная плоскость Проективная плоскость как пополнение аффинной Модель связки проективной плоскости Проективное преобразование плоскости Проективная система координат Аффинная карта Биекция между аффинной картой и проективной системой координат

Лекция 25. Теоремы Дезарга и Паппа. Кривые второго порядка на проективной плоскости.
Общий вид проективного преобразования плоскости в проективных координатах Общий вид проективного преобразования плоскости в аффинной карте Принцип двойственности, инцидентность точек и прямых Теорема Дезарга и двойственная ей Теорема Паппа и двойственная ей Кривые второго порядка на проективной плоскости Проективная классификация кривых второго порядка

Лекция 26. Овал как проективная прямая. Гиперболический поворот.
Полюс и поляра на проективной плоскости Овал как проективная прямая Гомоморфизм PGL(2) => PGL(3) Общий вид параметризации овала как проективной прямой Гиперболический поворот Псевдоевклидова длина дуги гиперболы Вид матрицы гиперболического поворота Прочие преобразования, сохраняющие гиперболу Псевдоевклидово скалярное произведение Длина дуги через логарифм двойного отношения

Лекция 27. Плоскость Лобачевского. Модели Клейна и Пуанкаре.
Напоминание прошлой лекции Плоскость Лобачевского как двуполостный гиперболоид Модель Клейна Неравенство треугольника на плоскости Лобачевского Модель Пуанкаре Векторное произведение в пространстве Минковского и его свойства

Лекция 28. Гиперболические теоремы синусов и косинусов. Угловой дефект.
Треугольник на плоскости Лобачевского Гиперболические теоремы синусов и косинусов Угловой дефект выпуклого n-угольника Площадь выпуклого n-угольника на плоскости Лобачевского как угловой дефект Прямоугольный шестиугольник

Лекция 29. Расстояние между прямыми. Параболический поворот. Изометрия.
Расстояние между непересекающимися прямыми на плоскости Лобачевского Параболический поворот Длина дуги орицикла Изометрические преобразования плоскости Лобачевского

Лекция 30. Классификация движений плоскости Лобачевского. Комплексная проективная прямая.
Напоминание прошлой лекции Гомоморфизм PGL(2) => PO(1,2) Классификация проективных преобразований прямой (движений плоскости Лобачевского) Комплексная проективная прямая Обобщенная окружность

Лекция 31. Проективное преобразование комплексной прямой. Пространство Лобачевского, его движения.
Проективное преобразование комплексной прямой и его общий вид Конформные преобразования сферы Пространство Лобачевского Модели Клейна и Пуанкаре Движения пространства Лобачевского Изоморфизм PGL(2,C) => PO(1,3) Классификация собственных движений

Связанные курсы