Курс "Алгебра. Часть 1" читается на механико-математическом факультете МГУ в 1 семестре. Это - первая часть курса алгебры, общая для отделения математики и механики (вторая часть курса алгебры, читающаяся в 3 семестре, предназначена только для отделения математики).

В содержание курса традиционно входят системы линейных уравнений, матрицы, определители, начальные сведения теории групп, колец, полей, основная теорема алгебры.

МАТЕРИАЛЫ ПО КУРСУ: https://homepage.mi-ras.ru/~pr...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
Вводное слово о курсе Матрицы Операции над матрицами Системы линейных уравнений (метод Гаусса) Теорема Гаусса Однородные системы

Лекция 2. Операции над матрицами.
Умножение Связь умножения и сложения Понятие кольца Диагональные матрицы Единичная матрица Верхнетреугольные матрицы Матричные единицы Матрицы и системы линейных уравнений Элементарные матрицы Подстановки Теорема (любая подстановка раскладывается в произведение транспозиций)

Лекция 3. Подстановки.
Подстановки (повторение изученного на предыдущей лекции) Группа Утверждение (подстановки образуют группу) Неподвижный элемент Лемма Решение уравнения ax=b (обратный элемент) Число подстановок Цикл Чётность

Лекция 4. Определители. Часть 1.
Подстановки (повторение изученного на предыдущей лекции) Теорема (чётность подстановки) Теорема (количество подстановок) Подгруппа Определитель Теорема (определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы) Лемма Метод вычисления определителя (метод Гаусса) Общие факты о функциях Теорема (свойства определителя)

Лекция 5. Определители. Часть 2.
Повторение материала, изученного на предыдущей лекции Теорема Определитель с углом нулей Определитель Вандермонда Разложение по строке Фальшивое разложение по строке (теорема) Теорема Крамера

Лекция 6. Обратные матрицы.
Теорема (свойство определителя) Элементарные матрицы Лемма 1 Лемма 2 Обратные матрицы Лемма Теорема Вычисление обратной матрицы Делители нуля

Лекция 7. Векторное пространство.
Обратимые матрицы (невырожденные матрицы) Множество невырожденных матриц Векторное пространство (определение) Примеры Свойства Линейно независимые векторы. Примеры Замечание (о линейной зависимости векторов) Лемма Теорема (критерий невырожденности матрицы) Базис Лемма о линейной зависимости

Лекция 8. Ранг матрицы.
Повторение Размерность векторного пространства Ранг конечного подмножества Следствие Теорема о ранге матрицы Следствие (для любой матрицы ранг системы строк равен рангу системы столбцов) Доказательство теоремы о ранге матрицы (продолжение) Алгоритм построения базиса Предложение 1 Предложение 2 Критерий совместности Системы однородных уравнений

Лекция 9. Морфизмы алгебраических структур.
Теорема (о базисе) Теорема (задание подпространства в ℝ^n) Основные определения Утверждение (о гомоморфизме групп) Примеры гомоморфизмов групп Изоморфизмы Теорема (векторные пространства одной размерности изоморфны) Терминология (автоморфизм, эндоморфизм, линейный оператор) Примеры изоморфизмов групп Примеры гомоморфизмов колец Ядро и образ гомоморфизма

Лекция 10. Поля.
Поле (понятие) Подполе (определение, свойства) Факт о полях Отношения между полями Поле комплексных чисел Векторные пространства Примеры полей Лемма Запись комплексного числа

Лекция 11. Комплексные числа.
Модуль комплексного числа Операции над комплексными числами Возведение в степень Корни из комплексных чисел Пример (корни из 1) Первообразные   Циклическая группа Кольца вычетов Теорема

Лекция 12. Характеристика поля. Многочлены.
Кольца вычетов Характеристика поля Лемма Следствие (малая теорема Ферма) Следствие Многочлены (определение) Теорема

Лекция 13. Многочлены. Часть 1.
Многочлены (определение, единственность) Существование Степень многочлена Подстановка элемента в многочлен Корень многочлена Интерполяционная формула Лагранжа Теорема

Лекция 14. Многочлены. Часть 2.
Кратность корня Деление с остатком Теория делимости Примеры неприводимых многочленов Наибольший общий делитель Теорема Факториальное кольцо Евклидово кольцо Дифференцирование

Лекция 15. Многочлены. Часть 3.
Дифференцирование (повторение пройденного материала) Выделение кратного множителя у многочлена Теорема Задача (построить многочлен, который имеет те же корни, что и заданный, но с кратностью 1) Формула Тейлора Лемма (вычисление коэффициентов) Основная теорема алгебры

Лекция 16. Основная теорема алгебры. Поле частных.
Лемма Даламбера Доказательство Утверждение (многочлен неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней) Задача Поле частных (определение, примеры) Теорема (существование и единственность) Пример (поле рациональных функций)

Лекция 17. Поле частных кольца многочленов.
Поле частных для многочленов Простейшие дроби Факториальность кольца многочленов над факториальным кольцом Неразложимые элементы

Лекция 18. Кольцо многочленов от нескольких переменных.
Кольцо многочленов от нескольких переменных (определение) Предложение (существование и единственность) Индукция по n Следствия из предложения Степень многочлена Суммарная степень Однородные многочлены Лексикографический порядок Старший член многочлена

Лекция 19. Симметрические многочлены.
Симметрические многочлены (понятие, примеры) Формулы Виета Основная теорема о симметрических многочленах Результант

Лекция 20. Группы. Часть 1.
Результант многочленов Исключение неизвестных Циклические группы Свойства циклических групп Порядок группы Порядок элемента

Лекция 21. Группы. Часть 2.
Циклические группы Теорема (циклические группы одного порядка изоморфны) Задача Смежные классы Теорема Нормальные подгруппы Факторгруппа

Лекция 22. Теоремы о гомоморфизме групп и колец.
Нормальные подгруппы Теорема о гомоморфизме групп Примеры Построение факторкольца Теорема о гомоморфизме колец Примеры