Войти
Математика 24 лекции
Алгебра. Часть 1
1
Лектор
Тимашёв Дмитрий Андреевич
#лекции
Механико-математический факультет
I семестр
Осень 2020

Первая часть курса высшей алгебры, читающаяся на механико-математическом факультете МГУ в первом семестре.

Содержание: 

- Системы линейных уравнений, векторные пространства, матрицы

- Подстановки

- Определители

- Группы, кольца, поля

- Кольца вычетов

- Комплексные числа

- Многочлены

- Евклидовы и факториальные кольца

- Поле отношений, рациональные дроби

- Симметрические многочлены

- Дискриминант и результант

Список всех тем лекций

Лекция 1. Системы линейных уравнений общего вида.
Литература по курсу "Высшая алгебра" Алгебра (понятие) Необходимые определения Элементарные преобразования систем линейных уравнений и их матриц (об элементарном преобразовании) Метод Гаусса решения систем линейных уравнений Ранг ступенчатой матрицы Обратный ход метода Гаусса (о совместности системы линейных уравнений) Однородные системы линейных уравнений

Лекция 2. Векторные пространства.
Векторное пространство Аксиомы векторного пространства Примеры векторных пространств Следствие из аксиом векторного пространства Свойства линейной зависимости Основная лемма о линейной зависимости

Лекция 3. Векторные пространства и системы векторов в векторном пространстве.
Предложение 1 Базис системы векторов Линейная комбинация базисных векторов Предложение 2 Ранг системы векторов Свойства ранга системы векторов Горизонтальный ранг матрицы, вертикальный ранг матрицы, ступенчатый ранг матрицы Транспонированная матрица Основная теорема Свойства ранга матрицы

Лекция 4. Матричная алгебра.
(ранг произведения двух матриц не превосходит каждого из сомножителей) Тождественное отображение Основное свойство тождественного отображения Свойства обратной матрицы Невырожденная матрица (обратимость матрицы) Алгоритм нахождения обратной матрицы Элементарная матрица Основное свойство элементарных матриц (всякая невырожденная матрица может быть разложена в произведение элементарных матриц)

Лекция 5. Системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли Подпространство в векторном пространстве Теорема Фундаментальная система решений Неоднородная система линейных уравнений Пример

Лекция 6. Линейные отображения.
Линейное отображение (понятие и примеры) Матрица линейного отображения Соглашение по обозначениям Замечание по определению матрицы линейного отображения Интерпретация системы линейных уравнений на языке линейных отображений Алгебраические операции над линейными отображениями и матрицами Проверка корректности определений операций над линейными отображениями Матричная запись для линейных отображений Свойства матричных операций Свойство ассоциативности умножения Взаимодействие транспонирования с алгебраическими операциями над матрицами

Лекция 7. Теория перестановок и подстановок.
до n (о количестве перестановок натуральных чисел) Подстановка Двухрядная запись подстановок Свойства умножения подстановок Цикличная подстановка Независимые циклы Теорема (о разложении подстановки) Пример

Лекция 8. Подстановки и перестановки.
Транспозиция Инверсия Пример Подстановка Предложение (о чётности перестановки) Предложение (о знаке подстановки) Свойства знака подстановки Определители Свойства определителя Метод вычисления определителя приведением матрицы к треугольному виду Определитель треугольной матрицы

Лекция 9. Вычисление определителей.
Замечание к свойствам определителя Предложение 1 Основное свойство определителя Вандермонда (характеризует невырожденные матрицы с точки зрения определителя) (мультипликативное свойство определителя) Минор матрицы (форма для определителя матрицы) Лемма о фальшивом разложении определителя

Лекция 10. Применение теории определителей.
Присоединённая матрица (формула для вычисления обратной матрицы) Квадратная система линейных уравнений Теорема о ранге матрицы Метод окаймляющих миноров

Лекция 11. Начала теории групп.
Группа (определение) Простейшие свойства  Порядок элемента Свойства порядка элемента g Циклическая группа Теорема о циклических подгруппах Теорема о подгруппах циклических групп Смежность слева элементов подгруппы Замечание (смежность справа) Пример Теорема Лагранжа Следствия из теоремы Лагранжа Применение теоремы Лагранжа в теории чисел

Лекция 12. Группа, кольцо, поле.
Группа (определение) Коммутативная абелева группа Примеры групп Сравнительная таблица терминологий Подгруппа  Примеры Кольцо (определение) Классы колец Простейшее следствие из аксиом кольца Обратный элемент (об обратимом элементе кольца) Делитель нуля (о делителе нуля) Поле (понятие) Подкольцо, подполе (определения)

Лекция 13. Кольца вычетов. Комплексные числа.
Класс вычетов Основные свойства класса вычетов Геометрическое изображение Операции над вычетами Примеры Свойства операций над вычетами Характеристика поля Малая теорема Ферма Поле комплексных чисел Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Лекция 14. Комплексные числа.
Поле комплексных чисел Изоморфизм групп (колец, полей) Теорема (поле комплексных чисел единственно с точностью до изоморфизма) Модель поля комплексных чисел Геометрическая интерпретация поля комплексных чисел

Лекция 15. Комплексные числа (продолжение). Многочлены.
Аргумент ненулевого комплексного числа Свойства аргумента комплексных чисел Извлечение корней из комплексных чисел Частный случай (корни степени n из 1) Свойства корней из 1 Первообразный корень степени n из 1 Многочлены Кольцо многочленов от одной переменной

Лекция 16. Алгебраические свойства многочленов.
Определяющие свойства кольца многочленов (кольцо многочлена от одной переменной единственно с точностью до изоморфизма) Модель кольца многочленов Проверка аксиом кольца Алгебраические свойства многочленов Полиномиальные функции Задача о полиномиальной интерполяции Теорема об интерполяции Задача (найти многочлен по формуле Крамера)

Лекция 17. Кольцо многочленов над полем К.
(над бесконечным полем формальное равенство многочленов эквивалентно их функциональному равенству) (деление с остатком) Частный случай деления с остатком (теорема Безу) Кратность корня многочлена Теорема (число корней ненулевого многочлена) Производная многочлена Свойства производной многочлена Высшая производная многочлена Связь производной с корнями многочлена и их кратностью Разложение многочлена по степеням линейного двучлена

Лекция 18. Теория делимости в кольцах многочленов.
Ассоциированность и свойства ассоциированности Наибольший общий делитель Взаимнопростые элементы (о наибольшем общем делителе) Евклидово кольцо Основные примеры евклидовых колец ( о наибольшем общем делителе в евклидовом кольце) Следствие из алгоритма Евклида Тривиальные разложения на множители Лемма (о делимости в евклидовом кольце) Основная теорема о делимости в евклидовом кольце Факториальное кольцо

Лекция 19. Основная теорема алгебры комплексных чисел.
Пример нефакториального целостного кольца Как устроены неприводимые многочлены в К [х]? Основная теорема алгебры комплексных чисел Алгебраически замкнутое поле Доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел Основные понятия из математического анализа Основные свойства Факты о многочленах Лемма 1 Лемма Даламбера Доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел (многочлен с действительными коэффициентами) Теорема (о неприводимых многочленах)

Лекция 20. Теорема Декарта.
Разложение многочлена на неприводимые множители Многочлены с действительными коэффициентами Теорема Декарта Теорема Ролля Теорема Декарта (продолжение) Дополнение к правилу знаков Пример Переход от поля целых чисел к полю рациональных чисел

Лекция 21. Поле рациональных дробей.
Дроби элементов из целостного кольца Аксиомы поля Предложение 1 Рациональная функция Несократимая дробь Правильная дробь Простейшая дробь Теорема (структура рациональных дробей) Многочлены от нескольких переменных Теорема (существование и единственность кольца многочленов с точностью до изоморфизма)

Лекция 22. Многочлены от нескольких переменных.
Многочлены от нескольких переменных Теорема о существовании и единственности кольца многочленов от нескольких переменных Свойства многочленов от нескольких переменных Степень одночлена от n переменных  Лексикографический порядок на одночленах Старший член многочлена Лемма 1 (Гаусс)

Лекция 23. Симметрические многочлены.
Симметрические многочлены (определение и примеры) Теорема Виета Применимость теоремы Виета Основная теорема о симметрических многочленах Замечание к основной теореме о симметрических многочленах Дискриминант многочлена

Лекция 24. Дискриминант. Результант.
Дискриминант многочлена Примеры вычисления дискриминанта (вычисление дискриминанта квадратного многочлена) (вычисление дискриминанта кубического трёхчлена) Результант двух многочленов Свойства результанта Связь дискриминанта многочлена и его результанта со своей производной

Связанные курсы