Войти
Математика 22 лекции
Алгебра. Часть 1
1
0
Лектор
Аржанцев Иван Владимирович
#лекции
1 курс
Механико-математический факультет
I семестр
2020

Курс "Алгебра. Часть 1" читается на механико-математическом факультете МГУ в 1 семестре. Это - первая часть курса алгебры, общая для отделения математики и механики (вторая часть курса алгебры, читающаяся в 3 семестре, предназначена только для отделения математики).

В содержание курса традиционно входят системы линейных уравнений, матрицы, определители, начальные сведения теории групп, колец, полей, основная теорема алгебры.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Системы линейных уравнений.
Частные случаи линейных систем Определитель Матрица Общий вид системы линейных уравнений Решение системы линейных уравнений Однородные системы Метод Гаусса Улучшенный вид матрицы Теорема об эквивалентности системы после элементарных преобразований

Лекция 2. Метод Гаусса, векторные пространства.
Повтор предыдущей лекции Метод Гаусса Следствия метода Гаусса, строгоступенчатая матрица Арифметические векторные пространства

Лекция 3. Подпространства линейного пространства.
Лемма о выражении элемента через линейно независимый набор векторов Лемма о единственности выражения через линейно независимые элементы Подпространство Линейная оболочка Базис подпространства Размерность

Лекция 4. Фундаментальная система решений.
Лемма о множестве решений однородной системы Фундаментальная система решений Множество решений неоднородных систем Линейное подмногообразие Ранг матрицы

Лекция 5. Ранг матрицы.
Теорема о равенстве строчного и столбцового рангов матрицы Алгоритм нахождения базы системы векторов Теорема о размерности пространства решений однородной СЛУ Теорема о существовании для подпространства СЛУ, множеством решений которой является это подпространство Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности СЛУ)

Лекция 6. Операции над матрицами.
Критерий определённости СЛУ в терминах рангов Операции над матрицами Свойства умножения Транспонирование

Лекция 7. Обратная матрица.
Коммутативность Единичная матрица След матрицы Обратная матрица Теорема: ранг произведения матриц меньше или равен минимуму рангов матриц Основное правило комбинаторики

Лекция 8. Подстановки.
Обратная подстановка Разложение подстановки в произведение независимых циклов Транспозиция Инверсия Знак подстановки Определители

Лекция 9. Определители.
Определители Свойства определителя Теорема о невырожденности определителя Теорема о функции, ставящей в соответствие набору векторов число

Лекция 10. Алгебраические дополнения.
Определитель с углом нулей Определитель Вандермонда Миноры Алгебраическое дополнение Разложение определителя Определитель произведения матриц Фальшивое разложение Присоединённая матрица Формула для присоединённой матрицы Формулы Крамера + теорема Крамера Теорема о ранге матрицы

Лекция 11. Теорема и формулы Крамера.
Теорема Крамера Теорема о ранге матрицы Основные алгебраические структуры, бинарная операция Примеры групп

Лекция 12. Кольцо и поле.
Кольцо Обратимость элемента Делитель нуля Нильпотент Поле Теорема об условии существования поля вычетов Если характеристика поля равна p, (a+b)^p = a^p + b^p, a,b - элементы поля Малая теорема Ферма

Лекция 13. Комплексные числа.
Комплексные числа Тригонометрическая форма записи Корень комплексного числа

Лекция 14. Многочлены от одной переменной.
Многочлены одной переменной Функциональное равенство Малая теорема Ферма Связь формальных и функциональных равенств Задача интерполяции Теорема о делении с остатком Корень многочлена Теорема Безу

Лекция 15. Производная многочлена, целое кольцо.
Число корней многочлена не превосходит его степени Производная многочлена Нахождение кратности корня Число корней многочлена с учётом их кратности не превосходит его степени Теория делимости, целостное кольцо

Лекция 16. Теория делимости.
Целостное кольцо Ассоциированность элементов Евклидовы кольца Лемма о норме произведения элементов Наибольший общий делитель Теорема о существовании НОД Лемма о линейном представлении НОД Взаимно простые элементы Простой и неприводимый элементы Лемма о делимости произведения элементов Теорема о разложении всякого ненулевого необратимого элемента Основная теорема алгебры Алгебраически замкнутое поле

Лекция 17. Основная теорема алгебры.
Существование корня многочлена, основная теорема алгебры Сходимость на комплексной плоскости Лемма о возрастании модуля Лемма Даламбера Доказательство основной теоремы алгебры Теорема Руффини - Абеля Отделение кратных корней

Лекция 18. Дополнения к О.Т.А., неприводимые многочлены.
Неприводимый многочлен Число, сопряжённое корню вещественного многочлена, является корнем Вещественный многочлен нечётной степени обладает вещественным корнем Неприводимый многочлен над полем рациональных чисел Алгоритм поиска корней многочлена с рациональными коэффициентами Теорема Декарта Теорема Штурма

Лекция 20. Симметрические многочлены.
Симметрические многочлены Элементарные симметрические многочлены Основная теорема о симметрических многочленах Теорема Виета Дискриминант

Лекция 21. Результант. Группа.
Дискриминант Результант Теорема о связи результанта и дискриминанта Выражение результанта через определитель Теория групп, определение группы Подгруппа Гомоморфизм

Лекция 22. Теория групп.
Гомоморфизм Изоморфизм Изоморфные группы Эндоморфизм и автоморфизм Ядро и образ Примеры групп Циклическая подгруппа Порядок элемента Циклическая группа

Лекция 23. Смежные классы и теорема Лагранжа.
Левый и правый смежные классы Индекс подгруппы Теорема Лагранжа Следствия теоремы Лагранжа Малая теорема Ферма Число левых смежных классов равно числу правых смежных классов