Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия и определения.

Лекция 2. Нормальные формы оператора. Теорема Смита.
Обзор лекции Основные определения и утверждения Теорема о подмодуле в конечнопорождённом свободном модуле Теорема о согласованных базисах Нормальная форма Смита Примеры Задача Утверждения для модулей

Лекция 3. Модули.
Вводная часть Основные определения Теорема об изоморфизме Прямая сумма модулей Теорема о прямой сумме Определение подмодуля Лемма Шура для модулей Важный пример Теорема Машке Теорема о разложении в прямую сумму Следствие Задача

Лекция 4. Две теоремы о неприводимых представлениях.
Обзор лекции Повторение предыдущих лекций Определение кольца Кольцо эндоморфизмов Теорема об изоморфизме кольца эндоморфизмов Умножение гомоморфизмов Теорема об изоморфизме колец и модулей Следствия Групповые алгебры об изоморфизме К-алгебр Примеры Теорема 2: степени неприводимых комплексных представлений конечной группы делят ее порядок

Лекция 5. Нетеровы кольца.
Определение нетеровых колец Теорема Пример Теорема Гильберта о базисе Следствия из теоремы Гильберта о базисе Определение радикала кольца Определение простого идеала Теорема

Лекция 6. Целые и конечные расширения колец.
Определение целого элемента Теорема 1: критерий того, что элемент цел Следствие 1: если кольцо конечно, то оно целое расширение Теорема 2: критерий для конечного расширения Следствие 2: о случае равносильности целого и конечного расширения Теорема 3: "транзитивность" целых расширений Алгебраическая зависимость Лемма: критерий алгебраической зависимости системы о базисе трансцендентности Следствие: существование базиса трансцендентности в любой алгебре без делителей нуля Лемма о замене Теорема о степени трансцендентности алгебры А

Лекция 7. Теорема Гильберта о нулях.
Лемма Нетер о нормализации Теорема об алгебраическом расширении Теорема о гомоморфизме и нильпотентном элементе Множество решений Теорема Гильберта о нулях

Лекция 8. Аффинные алгебраические многообразия.
Напоминание: теорема Гильберта о нулях Следствие из теоремы Гильберта о нулях Аффинные алгебраические многообразия Алгебра многочленов на аффинном многообразии Построение аффинного алгебраического многообразия и алгебры многочленов Морфизмы и изоморфизмы аффинных многообразий Теорема о взаимно однозначном соответствии аффинных многообразий и алгебр Топология Зарисского

Лекция 9. Неприводимые многообразия.
Топология Зарисского на аффинном многообразии Гомоморфизм ограничения Полиномиальные функции и морфизмы непрерывны в топологии Зарисского Топология Зарисского на одномерном пространстве Нетерово топологическое пространство Аффинное многообразие нетерово Неприводимое топологическое пространство Теорема о представлении нетерова топологического пространства в виде объединения замкнутых подмножеств Критерий неприводимости многообразия Рациональные функции Размерность неприводимого многообразия Теорема о размерности неприводимого многообразия

Лекция 10. Свободные группы.
Определение свободной группы Утверждение об изоморфизме свободных групп Ранг свободной группы Утверждение о мощности базиса в связи со свободными группами Проективные свойства свободной группы Утверждение о гомоморфном образе свободной группы Приведенное (редуцированное) слово Утверждение о сюръективном гомоморфизме в свободную группу Подгруппы свободных групп Теорема Нильсена-Шрайера Два примера свободных групп

Лекция 11. Задание групп порождающими и определяющими соотношениями.