Курс «Теория групп. Часть I» читается студентам третьего курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 6 семестре. 

В курсе лекций дано расширенное изложение положений и результатов теории групп и симметрий, имеющих широкие приложения в теоретической и математической физике. Даны определения группы, понятие симметрии, матричные группы, отображения групп. Обсуждается как алгебраическая теория групп, так и теория представлений групп и алгебр Ли. Особое внимание уделено компактным группам и алгебрам Ли, а также конформным группам и алгебрам в пространствах различной размерности. Кратко рассматривается классификация полупростых конечномерных алгебр Ли. Дано определение янгианов, связанных с простыми алгебрами Ли классических серий. Излагаются основы дифференциальной геометрии однородных пространств.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Группы: основные понятия и определения.
Определение группы Гомоморфизмы и изоморфизмы групп Примеры групп Смежные классы Нормальные подгруппы Теорема Лагранжа Группа кос Матричные группы

Лекция 2. Полупрямое произведение групп. Линейные неоднородные группы.
Морфизмы Ядро отображения Точная последовательность Полупрямое произведение Группа Пуанкаре

Лекция 3. Матричные группы. Линейные, унитарные, ортогональные и симплектические группы.
Переосмысление понятия умножения Линейные группы Ортогональные и псевдоортогональные группы Симплектические группы Унитарные и псевдоунитарные группы

Лекция 4. Многообразия. Группы Ли.
Гладкое многообразие Гомеоморфизм Связность, односвязность и гомотопия Вложенные многообразия Пространства де Ситтера и анти-де Ситтера Примеры многообразий матричных групп Ли

Лекция 5. Компактные и некомпактные группы Ли. Касательные пространства к многообразиям.
Компактные группы Ли Гипотеза Пуанкаре Примеры компактных и некомпактных групп Ли Бусты Касательные пространства к многообразиям

Лекция 6. Алгебры Ли линейных групп.
Коммутатор Алгебры Ли линейных групп Детерминант и пфаффиан матрицы Прямые сумма и произведение матриц

Лекция 7. Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр Ли. Универсальные накрывающие группы.
Определение алгебры Ли Овеществление и комплексификация векторного пространства Структурные соотношения и структурные константы алгебр Ли Вещественная форма алгебры Ли Гомоморфизмы и изоморфизмы алгебр Ли Вещественные формы матричных алгебр Ли Примеры изоморфизмов алгебр Ли Универсальные накрывающие группы

Лекция 8. Регулярные представления.
Регулярные представления Т-группы SU(N) Специальный подкласс функций - полиномы от h Прямое произведение определяющих представлений Представление для соседней транспозиции Утверждение Пример

Лекция 9. Представления групп и представления алгебр Ли.
Действие группы на множестве Линейное представление группы Унитарное представление группы Примеры представлений групп Регулярное представление группы Представления алгебр Ли Примеры представлений алгебр Ли

Лекция 10. Прямое произведение и прямая сумма представлений.
Эквивалентные представления Характер представления Прямое произведение и прямая сумма представлений Приводимые и неприводимые представления Инвариантное пространство Прямое произведение и прямая сумма представлений алгебры Ли

Лекция 11. Критерий неприводимости представлений. Лемма Шура.
Лемма Шура Следствия из леммы Шура Свойства представлений компактных групп Ли Выделение неприводимых представлений из прямого произведения определяющих представлений