Список всех тем лекций

Лекция 1. Классификация уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности.
Вступительное слово (о курсе) Классификация уравнений в частных производных Примеры Уравнение распространения тепла в пространстве (уравнение параболического типа) Уравнение диффузии Одномерное уравнение теплопроводности Задачи на полупрямой Задача Коши

Лекция 2. Первая краевая задача для уравнения теплопроводности. Существование решения.
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности Определение решения первой краевой задачи теплопроводности Метод разделения переменных (метод Фурье) Воспоминания о рядах Фурье Теорема (существования) Следствие 1 Следствие 2

Лекция 3. Принцип максимального значения. Теоремы единственности решения краевых задач для уравнения теплопроводности.
Теорема (принцип максимального значения) Физический смысл теоремы Теорема единственности первой краевой задачи Лемма Устойчивость первой краевой задачи Другой подход к доказательству единственности решения общей краевой задачи для уравнения теплопроводности

Лекция 4. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
Решение задачи Коши (определение) Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Теорема единственности

Лекция 5. Метод продолжения. Интегральное представление решения.
Задача Коши для уравнения теплопроводности Первая краевая задача на полупрямой Теорема единственности и существования решения Вторая краевая задача на полупрямой Интегральное представление первой краевой задачи на отрезке

Лекция 6. Уравнения Лапласа и Пуассона. Постановки задач. Формулы Грина.
Формула для процесса распространения тепла в пространстве Фундаментальные решения уравнения Лапласа в пространстве Фундаментальные решения уравнения Лапласа на плоскости Постановка задач Формулы Грина в пространстве Формулы Грина на плоскости

Лекция 7. Свойства гармонических функций.
Гармоническая функция (определение) Связь между гармоническими функциями двух переменных и аналитическими функциями Свойства гармонических функций в пространстве Свойства гармонических функций на плоскости

Лекция 8. Внутренние задачи Дирихле и Неймана.
Внутренняя задача Дирихле в пространстве Теорема единственности решения внутренней задачи Дирихле в пространстве Внутренняя задача Дирихле на плоскости Устойчивость решения внутренней задачи Дирихле Существование решения внутренней задачи Дирихле в прямоугольнике Внутренняя задача Неймана в пространстве Теорема единственности Необходимые условия разрешимости внутренней задачи Неймана

Лекция 9. Внешние задачи Дирихле и Неймана.
Внешняя задача Дирихле в пространстве Теорема единственности решения внешней задачи Дирихле в пространстве Внешняя задача Дирихле на плоскости Теорема единственности решения внешней задачи Дирихле на плоскости Внешняя задача Неймана в пространстве Теорема единственности решения внешней задачи Неймана в пространстве

Лекция 10. Функция Грина. Потенциалы.
Функция Грина Функция Грина для внутренней задачи Дирихле Свойства функции Грина для внутренней задачи Дирихле Потенциалы

Лекция 11. Потенциал двойного слоя. Задача Дирихле.
Потенциал двойного слоя Потенциал двойного слоя с единичной плотностью Вспомогательная теорема Теорема о равномерной непрерывности Теорема о скачке потенциала двойного слоя Задача Дирихле Теорема существования решения задачи Дирихле

Лекция 12. Постановка задач для уравнения колебания. Формула Даламбера.
Постановка задач для уравнения колебаний Задачи на отрезке Краевые условия для уравнения колебания на отрезке Задачи на полупрямой Задача Коши для уравнения колебания Формула Даламбера Характеристики уравнения в частных производных Формула Даламбера

Лекция 13. Метод продолжений. Задача Коши для неоднородного уравнения колебания.
Метод продолжения для решения задач для уравнения колебания на полупрямой Вторая краевая задача на полупрямой Задача Коши для неоднородного уравнения колебания Формула для решения общей задачи Коши

Лекция 14. Существование и единственность решения первой краевой задачи для уравнения колебаний.
Первая краевая задача для уравнения колебания Теорема существования Теорема единственности

Лекция 15. Задача с данными на характеристиках.
Постановка задачи Определение решения задачи с данными на характеристиках Эквивалентные системы интегральных уравнений Теорема существования Теорема единственности

Лекция 16. Сопряженные дифференциальные операторы. Метод Римана.
Понятие сопряжённого дифференциального оператора Сопряжённый дифференциальный оператор (пример) Метод Римана