Понятие ультрафильтра не входит в программы базовых курсов для студентов мехмата, однако они играют важную роль в самых разных областях математики. Многие фундаментальные понятия, включая непрерывность и компактность, очень просто определяются на языке ультрафильтров, и зачастую этот язык оказывается наиболее естественным и удобным. Например, самая цитируемая в математике теорема — теорема Тихонова о произведении компактов — имеет простое и изящное доказательство в терминах ультрафильтров (тогда как стандартное доказательство громоздко и трудно для понимания), а наиболее популярная и удобная модель нестандартного анализа основана на понятии ультрафильтрованного произведения. Это понятие играет основополагающую роль и в теории многообразий групп.

На множестве всех ультрафильтров на произвольном множестве X имеется естественная топология. Пространство βX ультрафильтров с этой топологией компактно; более того, оно является максимальной компактификацией множества X, рассматриваемого как дискретное топологическое пространство. В случае, когда X — полугруппа (например, множество натуральных чисел), это обстоятельство позволяет продолжить полугрупповую операцию до непрерывной по первому аргументу ассоциативной операции на βX. Тем самым βX превращается в компактную правотопологическую полугруппу, а во всякой такой полугруппе имеются идемпотенты, минимальные левые идеалы и т.п. Ультрафильтры-идемпотенты (а также ультрафильтры из минимальных идеалов) обладают уникальными комбинаторными свойствами, которые позволяют с лёгкостью доказывать важнейшие теоремы теории раскрасок (такие как теорема ван дер Вардена об арифметических и геометрических прогрессиях, теорема Шура об одноцветных решениях уравнения x+y=z и теорема Хиндмана о множествах конечных произведений без повторений в группах), доказать которые без применения ультрафильтров либо очень трудно, либо вообще не удаётся.

В 1990-х годах была обнаружена простая и естественная тесная связь между ультрафильтрами и множествами возврата в динамических системах, которая дала новый импульс развитию топологических динамических систем.

В курсе будут подробно рассмотрены все перечисленные темы. Предполагается начать «с нуля», но при этом полностью со всеми деталями изложить доказательства всех упомянутых (и многих других) утверждений. Это вполне осуществимо, поскольку ультрафильтры — это действительно чрезвычайно мощный инструмент, который связывает очень разные области математики и позволяет радикально упростить многие конструкции. Часть спецкурса будет посвящена открытым проблемам, решением которых занимается автор в настоящее время. Никакой предварительной подготовки от слушателей не требуется.

Страница курса: http://gtopology.math.msu.su/n...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Фильтры и ультрафильтры. Введение в топологию на языке ультрафильтров.
Фильтры и ультрафильтры Порядок Лемма Цорна Теорема (основное свойство ультрафильтров) Отображения фильтров Ультрафильтры и топология Ультрафильтры и компактность

Лекция 2. Топологическое пространство ультрафильтров. Полугруппа ультрафильтров. Теорема Хиндмана.
Свойства пространства βх Алгебра ультрафильтров Теорема (Эллис-Нумакура) Теорема Теорема Хидмана

Лекция 3. Топологические группы. Существование нетривиальных групповых топологий. Теорема Арнаутова о топологиях на кольцах.
Топологические группы Специфические свойства топологических групп Группы Ли Проблема топологизируемости групп Теорема Арнаутова

Лекция 4. Теоремы ван дер Вардена, Рамсея и Тихонова. Конечные версии комбинаторных теорем.
Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Теорема ван дер Вардена Теорема Рамсея Теорема Тихонова Теорема компактности для разбиений Теорема Шура

Лекция 5. Минимальные идеалы и идемпотенты. Большие множества в полугруппах.
Минимальный левый идеал Идемпотенты, которые принадлежат к группе минимальных левых идеалов Толстые множества Пример Синдетические множества Пример Кусочно синдетические множества

Лекция 6. Кусочно синдетические множества. Теорема Хейлса-Джуитта.
Кусочно синдетические множества (определение, пример) Предложение Теорема (о кусочно синдетических множествах) Упражнение Теорема Хейлса-Джуитта Ретракция Теорема Следствия из теоремы Топологическая динамика

Лекция 7. Топологическая динамика.
Динамические системы Подсистемы динамических систем Минимальные подсистемы Теорема (о минимальных подсистемах) Динамическая система βS Теорема об S-гомоморфизме Лемма об S-гомоморфизме Множества времён возврата Теорема о синдетических множествах возврата

Лекция 8. Рекуррентные и проксимальные точки. Дискретные динамические системы.
Теорема о синдетических множествах возврата Рекуррентные точки Проксимальность Теорема (о проксимальных точках) Теорема Центральные и динамически центральные множества в полугруппах Дискретные динамические системы

Лекция 9. Топологическое пространство N* = βN \ N.
Свойства пространств βN и N* Лемма 1 Лемма 2 Теорема Теорема Однородное пространство Теорема

Лекция 10. Типы неглавных ультрафильтров на N. Порядок Рудин–Кейслера.
Типы ультрафильтров Порядок Рудин-Кейслера Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Теорема Порядок Рудин-Бласса

Лекция 11. Свойства специальных типов ультрафильтров на N и их существование.
Порядок Рудин–Кейслера на ультрафильтрах (повторение) Схема доказательства неоднородности некоторых компактов Существование специальных типов ультрафильтров Рамсеевские ультрафильтры Трансфинитная рекурсия

Лекция 12. Быстрые ультрафильтры.
Рамсеевский ультрафильтр Быстрые ультрафильтры Тензорное произведение ультрафильтров Незамкнутые дискретные множества в топологических группах

Лекция 13. Незамкнутые дискретные множества в топологических группах. Ординалы и кардиналы.
Быстрый фильтр Жирное множество Теорема Фильтры и ультрафильтры на несчётных множествах

Лекция 14. Фильтры и ультрафильтры на несчетных множествах.
Замкнутые и неограниченные множества Фильтр club Свойства несчётных кардиналов Измеримые кардиналы

Лекция 15. Ультрафильтры на измеримых кардиналах.
Измеримые кардиналы Теорема Нормальные ультрафильтры Теорема Улама