Курс «Теоретическая механика» читается студентам второго курса химического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 4 семестре.
В рамках курса изучаются основные методы аналитического описания движения элементарных механических система – методы Лагранжа, Гамильтона и Гамильтона- Якоби, исследуется связь законов сохранения с симметриями пространства и времени. Выводится основной интегральный принцип механики – принцип наименьшего действия, с помощью которого строится метод канонический преобразований. Подробно разбираются применения этих методов к системам с кулоновским взаимодействием – атомам и молекулам.
Целью курса является научить студентов строить аналитические модели для описания классических элементарных систем с нелинейными взаимодействиями и применять основные методы аналитической механики для нахождения законов движения атомов и молекул.
Список всех тем лекций
Лекция 1. Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа для материальной точки. Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах.
Формализм Лагранжа" Основные понятия: материальная точка, инерциальная система отсчета
"Уравнения Лагранжа для материальной точки" Основные темы: второй закон Ньютона, потенциальные силы, потенциальная энергия, градиент, кинетическая энергия, производные кинетической энергии, функция Лагранжа.
Голономная связь.
Введение двух начальных предположений, необходимых для дальнейшего вывода.
"Уравнение Лагранжа при наличии диссипативных сил".
Лекция 2. Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа при наличии диссипативных сил.
Уравнение Лагранжа при наличии диссипативных сил
Лекция 3. Формализм Лагранжа. Уравнения Лагранжа при наличии электромагнитных сил.
Уравнения Лагранжа при наличии электромагнитных сил
Рассмотрение системы с одной степенью свободы
Лекция 4. Формализм Лагранжа. Принцип наименьшего действия.
Рассмотрение механической системы с s-степеней свободы
Действие системы.
Функционал.
Линейный функционал.
Приращение функции, или вариация аргументов функционала.
Приращение функционала.
Норма.
Лекция 5. Законы сохранения обобщенной энергии, обобщенного импульса, момента импульса.
Законы сохранения
Закон сохранения обобщенной энергии
Закон сохранения обобщенного импульса
Закон сохранения момента импульса
Лекция 6. Интегрирование уравнений движения. Одномерное движение. Движение в центральном поле.
Интегрирование уравнений движения
Одномерное движение
Движение в центральном поле
Лекция 7. Интегрирование уравнений движения. Движение в центральном поле.
Частица в центральном поле.
Симметричность траектории относительно радиус вектора, проведенного в точку поворота.
Второй закон Кеплера.
Сведение задачи о движении в центральном поле к задаче двух тел.
Траектория движения частицы в центральном поле вида U(r) = -a/r, где a > 0.
Лекция 8. Интегрирование уравнений движения. Рассеяние частиц. Колебания систем с одной степенью свободы.
Рассеяние частиц
Колебания систем с одной степенью свободы
Колебания систем со многими степенями свободы
Лекция 9. Интегрирование уравнений движения. Рассеяние частиц. Колебания систем со многими степенями свободы.
Колебания систем со многими степенями свободы.
Невырожденный и вырожденный случай.
Малые колебания двойного математического маятника.
Главные (нормальные) координаты.
Лекция 10. Интегрирование уравнений движения. Колебания молекул. Движение твердого тела. Тензор инерции.
Колебания молекул
Движение твердого тела
Тензор инерции
Лекция 11. Движение твердого тела. Углы Эйлера. Интегрирование уравнений движения твердого тела. Канонический формализм. Уравнения Гамильтона.
Углы Эйлера
Интегрирование уравнений движения твердого тела
Канонический формализм
Уравнения Гамильтона
Лекция 12. Канонический формализм. Интегрирование уравнений Гамильтона. Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия.
Интегрирование уравнений Гамильтона
Вывод уравнений Гамильтона из принципа наименьшего действия
Канонические преобразования
Лекция 13. Канонический формализм. Скобки Пуассона.
Скобки Пуассона
Лекция 14. Канонический формализм. Теорема об инвариантности фазового пространства. Действие как функция координат и времени. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Теорема об инвариантности фазового пространства
Действие как функция координат и времени
Уравнение Гамильтона-Якоби
Лекция 15. Канонический формализм. Разделение переменных. Закон движения частицы, движущейся в поле электрического диполя..
Разделение переменных