Курс «Введение в тензорный анализ» читается на втором курсе физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 3 и 4 семестрах. 

Курс посвящён изложению: тензорной алгебры, основ теории топологических пространств, основ теории гладких многообразий (часть I), классического тензорного анализа (часть II).

Актуальность курса определяется следующими обстоятельствами. Как известно, использование системы координат очень удобно, но обладает существенным недостатком. Вводя систему координат, мы добавляем к объективной информации об интересующем нас физическом процессе некую субъективную информацию. Вместо того, чтобы непосредственно изучать интересующий нас физический процесс, мы изучаем комбинацию «процесс + система координат». Тем не менее, переход к полностью инвариантной точке зрения зачастую либо невозможен, либо слишком сложен. Однако, существует разумный компромисс. Можно использовать системы координат, игнорируя специфическую информацию, отличающую одну систему координат от другой. Для реализации этого компромисса необходим математический аппарат, позволяющий записывать базовые уравнения теории так, чтобы они имели одинаковую структуру во всех системах координат (были инвариантными). Такой математический аппарат основан на теории гладких многообразий в первой части. Следует заметить, что основные объекты классического тензорного анализа (аффинная связность и псевдориманова метрика) имеют непосредственный физический смысл. Заметную часть первого раздела занимает изложение общих сведений о тензорной алгебре, теоретико-множественной топологии, теории диффеоморфизмов в координатном пространстве.

Курс может представлять интерес для следующих кафедр ФФ МГУ: математики, математического моделирования и информатики, физико-математических методов управления, теоретической физики, квантовой статистики и теории поля, физики частиц и космологии, квантовой теории и физики высоких энергий.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Тензорная алгебра (часть 1)..
Зачем нужны тензорная алгебра и тензорный анализ? Числовые наборы Геометрические объекты Тензоры Прямое произведение тензоров Свёртка тензора

Лекция 2. Тензорная алгебра (часть 2)..
Транспонирование тензора Специальный базис в пространстве тензоров

Лекция 3. Тензорная алгебра (часть 3)..
Антисимметричные тензоры Альтернирование тензора Ассоциативность Специальный базис в пространстве антисимметричных тензоров (начало)

Лекция 4. Теоретико-множественная топология (часть 1)..
Специальный базис в пространстве антисимметричных тензоров  Тензоры как полилинейные формы от векторных и ковекторных аргументов

Лекция 5. Теоретико-множественная топология (часть 2)..
Топологические пространства Простейшие понятия, относящиеся к топологическим пространствам Теорема о компактном множестве в хаусдорфовом пространстве и о не принадлежащей ему точке

Лекция 6. Теоретико-множественная топология (часть 3)..
База топологии Необходимое и достаточное условие того, что данное множество подмножеств множества M является базой некоторой топологии на множестве M Метрические пространства Специальная база топологии метрического пространства Непрерывная функция

Лекция 7. Теоретико-множественная топология (часть 4)..
Индуцированная топология Произведение топологических пространств Некоторые сведения о непрерывных функциях Общие сведения о гомеоморфизмах

Лекция 8. Теоретико-множественная топология. Диффеоморфизмы в координатных пространствах..
Принцип соответствия границ Полезное вспомогательное утверждение о гомеоморфизмах Гомеоморфизмы в координатных пространствах (без доказательств) Общие сведения о гладких функциях в координатных пространствах (начало)

Лекция 9. Диффеоморфизмы в координатных пространствах..
Общие сведения о гладких функциях в координатных пространствах (окончание) Общие сведения о диффеоморфизмах в координатных пространствах Теоремы о диффеоморфизмах (основанные на теореме о неявной функции)  Теорема о сохранении размерности при диффеоморфизмы Уточнение общих сведений о диффеоморфизмах

Лекция 10. Системы координат..
Определение гладкого многообразия Переход из одной системы координат в другую

Лекция 11. Атлас..
Определение гладкости атласа Свойства максимальных атласов

Лекция 12. Топология..
Ввод топологии на гладком пространстве Следствия из достаточного условия принадлежности Доказательство того, что объект является топологией Доказательство непрерывности прямого и обратного отображения Определение топологии, согласованной с атласом

Лекция 13. Локальное евклидово пространство..
Локальное эвклидово пространство

Лекция 14. Закон преобразования при переходе к другой системе координат..
Закон преобразования при переходе к другой системе координат Голономный базис

Лекция 15. Геометрический объект..
Понятие о геометрическом объекте Поле геометрических объектов Достаточное условие гладкости