Спецкурс для студентов 2-5 курсов и аспирантов. В курсе излагаются основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с фундаментальными методами излагаются современные методы исследования, в том числе, разработанные автором применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям высокого порядка. Обсуждаются сложные задачи об исследовании поведения решений, а также актуальные нерешенные задачи.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Уравнение Риккати.
Вступительное слово к курсу Качественная теория дифференциальных уравнений Качественные свойства решений дифференциальных уравнений Уравнение Риккати Замена переменной Типы интегрируемых уравнений Риккати. Дробно-линейная замена Приведение уравнения Риккати к каноническому виду Структура общего решения уравнения Риккати Случаи интегрируемости уравнения Риккати

Лекция 2. Интегрируемость уравнения Риккати и качественное свойство его решений.

Лекция 3. Качественные свойства уравнения Риккати.

Лекция 4. Асимптотические и качественные свойства уравнения Риккати.

Лекция 5. Качественные свойства решения полиномиальных уравнений первого порядка.
Полиномиальное уравнение первого порядка Определение главного члена полинома Формулировка двух возможных ситуаций Начало Оценка отношения членов полинома к старшему члену Начало План следующей лекции и домашнее задание

Лекция 6. Продолжение темы: полиномиальные уравнения.
Повторение пройденных понятий и теоремы об оценке решений полиномиальных решений Доказательство теоремы от противного (повторение разбора случая 1) Доказательство теоремы от противного (случай 2) Доказательство теоремы от противного (случай 2.a) Доказательство теоремы от противного (случай 2.b) Вспомогательная лемма Завершение доказательства Случай полиномиального уравнения второго порядка Ответы на вопросы из аудитории Построение контрпримера к теореме в случае уравнения второго порядка План следующей лекции

Лекция 7. Асимптотические формулы решений полиномиальных уравнений.
Повторение пройденного Дробно-рациональное уравнение Лемма и её доказательство Следствия Теорема Харди Начало доказательства Четыре различных случая Случай 2 Случай 3 Вопрос по решению домашнего задания

Лекция 8. Теорема Харди. Линейные уравнения второго порядка.
План лекции Доказательство теоремы Харди с предыдущей лекции Случаи Линейные уравнения второго порядка Задача Коши Общее решение уравнения (1) Общее решение уравнения (2) Приведение к простейшим формам Уравнение без первой производной Домашняя задача Приведение к самосопряженному виду Задача: привести уравнение Бесселя Представление Валле-Пуссена

Лекция 9. Линейные уравнения второго порядка.
Пример Обсуждение линейного уравнения второго порядка Определения неколеблющегося и колеблющегося решений на интервале Определение колеблющегося решения на полуоси Определение неколеблющегося решения на полуоси Теорема о нулях решения и ее доказательство Теорема о неколеблемости решения в случае q(x) ≤ 0 Доказательство Доказательство Лемма Теорема Шпета Две теоремы об ограниченности решений Теоремы Кондратьева