Войти
Математика 9 лекций
Качественная теория дифференциальных уравнений. Часть 1
1
0
Лектор
Асташова Ирина Викторовна
#лекции #спецкурс
2020

Спецкурс для студентов 2-5 курсов и аспирантов. В курсе излагаются основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с фундаментальными методами излагаются современные методы исследования, в том числе, разработанные автором применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям высокого порядка. Обсуждаются сложные задачи об исследовании поведения решений, а также актуальные нерешенные задачи.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Уравнение Риккати.
Вступительное слово к курсу Качественная теория дифференциальных уравнений Обращение решения в нуль Область максимальной определенности Другие качественные свойства решений Уравнение Риккати Пример Замена переменной Канонический вид уравнения Риккати Структура общего решения уравнения Риккати Случаи интегрируемости уравнения Риккати

Лекция 2. Интегрируемость уравнения Риккати и качественное свойство его решений.
Повторение пройденного Специальное уравнение Риккати Замена Обратные замены Случаи интегрируемости Пример №1 Пример №2 Упражнения Свойства решений уравнения Риккати Доказательство Следствие теоремы Домашнее задание

Лекция 3. Качественные свойства уравнения Риккати.
Упражнения с прошлого занятия Свойства решений уравнения Риккати Доказательство теоремы Пример и доказательство Случай Теорема Домашнее задание

Лекция 4. Асимптотические и качественные свойства уравнения Риккати.
План лекции Случай с двумя различными корнями Теорема Доказательство теоремы Свойство Пример Случай комплексных корней уравнения Пример Теорема о непрерывной зависимости решения уравнения от начальных условий и правой части Задача Обозначения Теорема о сжимающих отображениях Доказательство Домашнее задание

Лекция 5. Качественные свойства решения полиномиальных уравнений первого порядка.
Полиномиальное уравнение первого порядка Определение главного члена полинома Доказательство Опровержение первого пункта Отношение членов полинома Опровержение второго пункта План следующей лекции и домашнее задание

Лекция 6. Продолжение темы: полиномиальные уравнения.
Повторение пройденного Опровержение второго пункта Первое неравенство Второе неравенство Лемма Для уравнений второго порядка Пример План следующей лекции

Лекция 7. Асимптотические формулы решений полиномиальных уравнений.
Повторение пройденного Дробно-рациональное уравнение Лемма и её доказательство Следствия Теорема Харди Доказательство Четыре различных случая Случай 2 Случай 3 Вопрос по решению домашнего задания

Лекция 8. Теорема Харди. Линейные уравнения второго порядка.
План лекции Доказательство теоремы Харди с предыдущей лекции Случаи Линейные уравнения второго порядка Задача Коши Общее решение уравнения (1) Общее решение уравнения (2) Приведение к простейшим формам Уравнение без первой производной Домашняя задача Приведение к самосопряженному виду Задача: привести уравнение Бесселя Представление Валле-Пуссена

Лекция 9. Линейные уравнения второго порядка.
Представление оператора высокого порядка с непрерывными коэффициентами в виде оператора квазипроизводной Обсуждение линейного уравнения второго порядка Определения неколеблющегося и колеблющегося решений Определение колеблющегося решения на полуоси Определение неколеблющегося решения на полуоси Теорема и её доказательство Доказательство Доказательство Теорема Шпета Теорема об ограниченности решений Аналогии теоремы Штурма для порядка выше двух Теоремы Штурма и Кондратьева

Связанные курсы