Курс "Теория вероятностей" читается на механико-математическом факультете МГУ в 4 семестре. Он предваряет курсы "Теория случайных процессов" и "Математическая статистика" и содержит базовые вопросы теории вероятностей - от аксиоматики Колмогорова до закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в теорию вероятностей.
Представление Предмет изучения теории вероятностей Принцип устойчивости частот Сигма-алгебры Примеры сигма-алгебр Вероятностная мера, её свойства Доказательства свойств вероятностной меры Теорема о непрерывности вероятностной меры Дискретное вероятностное пространство, классическая модель

Лекция 2. Условные вероятности. Пи-лямбда-системы.
Симметричная схема Бернулли Геометрические вероятности Пример: задача о встрече Формула полной вероятности Пример: задача о сумасшедшей старушке Априорная и апостериорная вероятности Пи- и лямбда- системы Первая теорема о пи-лямбда-системах Пример: лямбда система, но не алгебра Лемма о существовании и единственности минимальной сигма-алгебры, пи-системы и лямбда-системы Борелевские множества

Лекция 3. Вторая теорема о пи-лямбда-системах, независимость событий.
Борелевская сигма-алгебра на пространстве R^N Вторая теорема о пи-лямбда-системах, её следствие Попарная независимость, независимость в совокупности Связь попарной независимости с независимостью в совокупности Критерий независимости сигма-алгебр Теорема Каратеодори о продолжении меры, вспомогательная лемма

Лекция 4. Функции распределения.
Доказательство вспомогательной леммы теоремы Каратеодори Функция распределения, её свойства Примеры функций распределения Теорема о взаимно-однозначном соответствии вероятностной меры и функции распределения Дискретная вероятностная мера, распределение вероятностей Примеры дискретных распределений Абсолютно непрерывные функции распределения Примеры абсолютно непрерывных распределений

Лекция 5. Сингулярные распределения, вероятностные меры на многомерных пространствах.
Продолжение Примеры Теорема Лебега о произвольных функциях распределения Вероятностные меры на n-мерных и бесконечномерных пространствах Замечание о неубывании по каждой координате Свойство согласованности Теорема Колмогорова о вероятностных мерах в бесконечномерных пространствах Примеры Примеры абсолютно непрерывных распределений

Лекция 6. Математическое ожидание, ковариация, случайные элементы.
Свойства математического ожидания Моменты порядка k Свойства ковариации Критерий измеримости отображения Эквивалентное определение случайных величин и случайных векторов Примеры

Лекция 7. Характеристики случайных величин и векторов. Теорема о приближении простыми.
Характеристики случайных величин и векторов Примеры случайных величин и векторов Теорема о приближении простыми

Лекция 8. Математическое ожидание.
Простые случайные величины Свойства математических ожиданий для простых случайных чисел Неотрицательные случайные величины Произвольные случайные величины Замечания Свойства математического ожидания

Лекция 9. Независимые случайные величины.
Независимость случайных величин Свойства независимости Дисперсия и ковариация Свойства дисперсии и ковариации Дисперсия случайного вектора Предельный переход под знаком Е

Лекция 10. Формулы для вычисления математического ожидания.
Лемма Фату Теорема Лебега (о мажорируемой сходимости) Замена переменных в интеграле Лебега Формула замены переменных Примеры Прямое произведение вероятностных пространств Теорема Фубини

Лекция 11. Сходимости случайных величин.
Свёртка распределений Неравенство Маркова Неравенство Чебышёва Неравенство Йенсена Виды сходимости Теорема (закон больших чисел в форме Чебышёва) Критерий сходимости Достаточное условие сходимости Взаимоотношение видов сходимости Замечание (обратная стрелка) Усиленный закон больших чисел

Лекция 12. Усиленный закон больших чисел.
Фундаментальность с вероятностью 1 Критерий Коши сходимости Критерий фундаментальности Неравенство Колмогорова Теорема Колмогорова-Хинчина Лемма Тёплица Лемма Кронекера Лемма Бореля-Кантелли Вспомогательное утверждение Усиленный закон больших чисел II (в форме Колмогорова) Слабая сходимость функций распределения Слабая сходимость вероятностных мер Теорема Александрова

Лекция 13. Схема Бернулли и характеристические функции.
Теорема Александрова (доказательство) Предельные теоремы для схемы Бернулли Теорема Муавра-Лапласа Характеристические функции Свойства характеристических функций Теорема о производных характеристических функций

Лекция 14. Метод характеристических функций.
Теорема о разложении в ряд Теорема единственности Многомерные характеристические функции Формулы обращения Характеристические функции Теорема Бохнера-Хинчина Плотность и относительная компактность Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Теорема о непрерывности Центральная предельная теорема

Лекция 15. Центральная предельная теорема.
Центральная предельная теорема Теорема Берри-Эссена Пример применения теоремы Сходимость случайных векторов Теорема о наследовании сходимости Усиленный закон больших чисел для случайных векторов Гауссовские случайные векторы Теорема о трёх эквивалентных определениях Свойства гауссовских векторов Многомерная центральная предельная теорема