Первая часть годового курса численных методов для студентов механико-математического факультета

Список всех тем лекций

Лекция 1. Интерполяция.
Вводное слово о предмете "Численные методы" Понятие погрешности и относительной погрешности Постановка задачи интерполяции Разделённая разность Оценка погрешности

Лекция 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
Разделённая разность Запись погрешности Другая запись интерполяционного многочлена Лагранжа Обобщение задачи Постановка задачи Многочлены Чебышева Свойство многочленов Чебышева

Лекция 3. Наилучшее приближение функций.
Свойство многочленов Чебышева Задача (распределение узлов интерполяции) Оценка для интерполяции с кратными узлами Постановка задачи наилучшего приближения Теорема (элемент наилучшего приближения существует) Случай гильбертова пространства (пример) Случай пространства С Теорема об альтернансе Лемма Вале-Пуссена

Лекция 4. Теорема Чебышёва об альтернансе.
Теорема Чебышёва об альтернансе Единственность многочлена наилучшего приближения Утверждение (об интерполяционном многочлене Лагранжа) Задача (построить многочлен наилучшего равномерного приближения пятой степени для заданной функции) Задача (построить многочлен наилучшего равномерного приближения шестой степени для заданной функции) Задача (построить многочлен наилучшего равномерного приближения пятой степени для заданной функции) Задача (построить многочлен наилучшего равномерного приближения первой степени для заданной функции) Приложения

Лекция 5. Сплайны.
Многочлен наилучшего равномерного приближения Сплайны (понятие) Свойства сплайнов

Лекция 6. Аппроксимационный сплайн.
Интерполяционный сплайн Аппроксимационный сплайн (построение) Определение аппроксимационного сплайна Геометрическая интерполяция

Лекция 7. Быстрое дискретное преобразование Фурье.
Алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье Численное дифференцирование Примеры Оценка погрешности

Лекция 8. Сжатие информации.
Численное дифференцирование Одномерный случай Двумерный случай Двумерный случай (матрица)

Лекция 9. Численное интегрирование.
Постановка задачи Примеры Оценка величин Ортогональный многочлен (свойство корней ортогональных многочленов) (ортогональные многочлены удовлетворяют соотношению)

Лекция 10. Квадратурная формула Гаусса.
Постановка задачи Алгоритм построения квадратурной формулы Гаусса Свойства квадратурной формулы Гаусса Задача (обобщение) Актуальность Точная формула погрешности

Лекция 11. Оптимальная квадратурная формула.
(вычисление интеграла в нерегулярных случаях) (вычисление интеграла в нерегулярных случаях) (вычисление интеграла в нерегулярных случаях) Оптимальная квадратурная формула Задача, связанная с оптимизацией Программы для вычисления интегралов Автоматический выбор шага

Лекция 12. Численные методы линейной алгебры.
Пример (вычисление значения многочлена) Представление многочлена в виде суммы ортогональных многочленов Двумерный случай Задачи численных методов линейной алгебры Метод Гаусса Метод отражений

Лекция 13. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Прямые методы Итерационные методы Метод простой итерации Теорема (о простой итерации) Замечания к теореме Теорема (критерий сходимости) Необходимость Противоречия Переход от системы Ax=b к системе x=Bx+c

Лекция 14. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определённой матрицей.
Теорема (о сходимости) Задача оптимизации Случай, когда разброс спектра большой Теорема (многочлен Чебышева) Алгоритм ускорения процесса Чебышева Метод Лебедева

Лекция 15. Вариационные итерационные методы.
Метод Ричардсона Метод наискорейшего градиентного спуска Метод Зейделя Теорема (о сходимости метода Зейделя)

Лекция 16. Решение системы линейных алгебраических уравнений с симметричной положительно определённой матрицей. Метод Ричардсона.
Постановка задачи Исследование сходимости метода 2 Некорректная задача Метод Тихонова Задача (первая трансформация Гаусса)