Курс лекций «Основы математического моделирования» читается студентам третьего курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 6 семестре. 

Задача математического моделирования - создание и решение математической модели в результате выявления главных, характерных черт явления или процесса, и его определяющих особенностей. Компьютерный эксперимент, лежащий в основе решения задач математического моделирования, позволяет получить результаты, когда лабораторный эксперимент принципиально невозможен. Сопоставление полученных данных c результатами качественного анализа, натурального эксперимента и данными, полученными с помощью других численных алгоритмов является неотъемлемой частью интерпретации результатов моделирования.

В рамках курса рассматриваются некоторые классические задачи математической физики, математическое моделирование нелинейных объектов и процессов, методы исследования математических моделей, новые методы и объекты математического моделирования.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия и принципы математического моделирования..
Программа курса "Основы математического моделирования" Список основной и дополнительной литературы Что такое математическое моделирование? Основные понятия и принципы математического моделирования Основные этапы метода математического моделирования Прямые и обратные задачи математического моделирования Принцип аналогий Процесс линеаризации Иерархия моделей

Лекция 2. Некоторые классические задачи математической физики. Часть 1..
Формула Циолковского Некоторые классические задачи математической физики. Уравнение Гельмгольца Однородное уравнение Гельмгольца Стационарный процесс диффузий Поведение решения на бесконечности при различных C Условия излучения Зоммерфельда Теорема единственности Принцип предельного поглощения Принцип предельной амплитуды Парциальные условия излучения

Лекция 3. Некоторые классические задачи математической физики. Часть 2..
Парциальные условия излучения (Дополнение) Нормальные волны (моды) Парциальные условия излучения Свешникова Теорема единственности Квадроугольный излучатель Мощность излучения квадруполя Задачи математической теории дифракций Задача с данными на характеристиках (задача Гурса) Простейшая задача Гурса Общая задача Гурса

Лекция 4. Некоторые классические задачи математической физики. Часть 3..
Доказательство существования и единственности Функция Римана Понятие сопряженного дифференциального оператора Формула Грина Задача с данными на характеристиках (Задача Гурса) Физический смысл функции Римана Уравнения с постоянными коэффициентами Задача Коши для уравнения колебаний Формула Даламбера

Лекция 5. Некоторые классические задачи математической физики. Часть 4..
Динамика сорбции газа Понятие сорбции газа Уравнение баланса вещества для слоя сорбента Уравнение кинетики сорбции Изотерма сорбции Изотерма Ленгмюра Изотерма Генри Задача сорбции Общая задача Коши Функция Римана Динамика сорбции газа (выкладки)

Лекция 6. Некоторые классические задачи математической физики. Часть 5..
Задача о промерзании (задача о фазовом переходе, задача Стефана) Постановка задачи о промерзании(задача с подвижной границей, задача Стефана) Построение решения задачи о промерзании Метод подобия Выкладки к задаче о промерзании Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения Автомодельные решения Автомодельное решение уравнения типа бегущей волны Свойства обобщенного решения квазилинейного вырождающегося параболического уравнения Типы нетривиальных автомодельных решений Решение задач с помощью автомодельных решений Режимы с обострением Определение режима с обострением Решение Зельдовича-Компанейца-Баренблатта

Лекция 7. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов. Часть 1..
Задача с подвижными границами Эффект локализации тепла Заключительные замечания по главам Математические модели теории нелинейных волн Метод характеристик Условие на разрыве Уравнение Кортевега-де Фриза и законы сохранения

Лекция 8. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов. Часть 2..
Уравнение Кортевега-де Фриза (свойства) Схема метода обратной задачи Прямая и обратная задачи рассеяния Схема решения обратной задачи рассеяния Решение задачи Коши Солитонные решения Задача о наводнении Методы исследований математических моделей Вариационные методы решения краевых задач и определения собственных значений Принцип Дирихле Задача о собственных значениях

Лекция 9. Методы исследований математических моделей. Часть 1..
Некоторые алгоритмы проекционного метода Общая схема алгоритмов проекционного метода Метод Ритца

Лекция 10. Методы исследований математических моделей. Часть 2..
Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке Метод прогонки Экономичные разностные схемы Локально-одномерные схемы Консервативно-однородные разностные схемы Интегро-интерполяционный метод Метод конечных элементов

Лекция 11. Методы исследований математических моделей. Часть 3..
Явные и неявные схемы Метод прогонки, достаточные условия устойчивости Экономичные разностные схемы Схема переменных направлений Локально-одномерные схемы

Лекция 12. Методы исследований математических моделей. Часть 4..
Консервативные однородные разностные схемы Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) Метод конечных элементов (проекционно-сеточный метод) Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэффициентов Спектральный анализ разностной задачи Коши Необходимое спектральное условие устойчивости Неймана Асимптотические методы Метод малого параметра Регулярные и сингулярные возмущения

Лекция 13. Методы исследований математических моделей. Часть 5..
Сингулярные возмущения Метод ВКБ (Ванцеля, Крамерса, Бриллюэна) Метод Крылова – Боголюбова Некоторые новые объекты и методы математического моделирования Фракталы и фрактальные структуры

Лекция 14. Некоторые новые объекты и методы математического моделирования..
Фрактальные структуры Размерность самоподобия Фракталы в природе Применения фракталов Синергетика Диссипативные структуры Модель брюсселятора Вейвлет-анализ Непрерывное вейвлет-преобразование Вейвлет-анализ временных колебаний