Курс «Математический анализ. Часть 3» читается студентам второго курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 3 семестре.

В третьей, заключительной части математического анализа, рассматриваются наиболее сложные и, в то же время, полезные в физике разделы этой науки:

1. Векторный анализ – вычисление дивергенции, ротора и других операций, с помощью которых записываются уравнения Максвелла.
2. Числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
3. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
4. Несобственные интегралы.
5. Интегралы, зависящие от параметра.
6. Ряды и интеграл Фурье.
7. Понятие об обобщенных функциях. Излагаемый в данном курсе материал полностью соответствует действующей программе по математическому анализу для физических специальностей. При рассмотрении многих вопросов особое внимание уделяется приложениям математических понятий и утверждений в физике.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Скалярные и векторные поля.
Скалярные и векторные поля Дифференциальные операции Ортогональные системы координат Длина вектора, коэффициенты Ламэ Формула градиента в криволинейной системе координат Инвариантное определение дивергенции Выражение для дивергенции Инвариантное определение ротора Формула для вычисление ротора в криволинейной системе координат

Лекция 2. Ряды. Сходимость числовых рядов.
Параметры Ламэ в основных системах координат Теория числовых рядов Частичная сумма, сумма ряда Критерий Коши Необходимое условие сходимости ряда Теорема о ряде из модулей Абсолютная сходимость Ряды с положительными членами Признак сравнения Интегральный признак (Коши-Маклорена) Исследование на сходимость обобщенного гармонического ряда Определение условно сходящегося ряда Теорема Римана Суть признака Дирихле-Абеля

Лекция 3. Признаки сходимости рядов.
Исследование некоторых рядов на сходимость Признак Лейбница Признак Дирихле-Абеля Лемма Доказательство признака Дирихле-Абеля Применение признака для доказательства сходимости Сумма расходящихся рядов Примеры из задачника Демидовича

Лекция 4. Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость.
Функциональные ряды Функциональные последовательности Расстояние между функциями Определение равномерной сходимости Признаки равномерной сходимости функциональных рядов Признак Вейерштрасса Критерий Коши Доказательство признака Дирихле-Абеля Примеры из задачника Демидовича

Лекция 5. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.
Теорема о сумме ряда непрерывных функций Теорема о сходимости ряда из интегралов О равномерной сходимости функциональных последовательностей Дифференцирование функционального ряда Теорема о рядах, составленных из производных Доказательство теоремы Функция Римана Непрерывность функции Римана в точке х>1 Сходящаяся последовательность Теорема о почленном интегрировании

Лекция 6. Теорема Арцела. Несобственные интегралы.
Теорема (лемма) Арцела Критерий компактности Определение равномерной ограниченности Равностепенная непрерывность Доказательство леммы Арцела Свойство равномерной ограниченности Доказательство выполнения критерия Коши Несобственные интегралы Определение сходящегося интеграла Несколько частных замечаний Главное значение интеграла

Лекция 7. Несобственные интегралы. Критерии и признаки сходимости.
рода Критерий Коши Определение абсолютно сходящегося интеграла Теорема об абсолютной сходимости Схема исследования на абсолютную сходимость Признак сравнения Доказательство признака сравнения Разница между абсолютной сходимостью рядов и интегралов Интеграл Пуассона Признак Абеля Доказательство признака Абеля Применение признака Абеля к доказательству сходимости интеграла Френеля рода Кратные несобственные интегралы Исчерпывающая система областей

Лекция 8. Кратные несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра.
Кратные несобственные интегралы Второе определение исчерпывающей системы областей Важное отличие Интеграл Пуассона Вычисление интеграла Пуассона Главное значение трёхкратного несобственного интеграла Интегралы, зависящие от параметра От собственных интегралов, зависящих от параметра, к несобственным теоремы о собственных интегралах

Лекция 9. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.
Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра Определение равномерной сходимости Примеры на исследование сходимости интеграла Теорема о непрерывной функции под знаком интеграла Теорема о дифференцируемости функции под знаком интеграла Доказательство теоремы Теорема об интегрировании Исследование интеграла на равномерную сходимость Критерий Коши Признак Вейерштрасса Доказательство признака Вейерштрасса Признак равномерной сходимости Абеля Разрывный множитель Дирихле

Лекция 10. Интегралы Френеля. Эйлеровы интегралы.
Вычисление интегралов Френеля Пример на комплексной плоскости Эйлеровы интегралы Гамма-функция Бета-функция Связь гамма- и бета-функций Оценка интеграла методом Лапласа Асимптотическая оценка интеграла Формула Стирлинга

Лекция 11. Проблемы теории потенциала. Ряды Фурье.
Кратные интегралы, зависящие от параметра Уравнение Пуассона Теория потенциала Интеграл - непрерывная функция параметра Различие определений потенциала Ряды и интеграл Фурье Представление поведения периодической функции Период Вычисление интеграла от периодической функции по периоду Описание периодической функции Тригонометрический ряд Основные задачи теории рядов Фурье Нахождение коэффициентов ряда Фурье

Лекция 12. Поточечная сходимость ряда Фурье.
Значения коэффициентов ряда Фурье Определение ряда Фурье Кусочно-гладкие функции Кусочно-непрерывные функции Теорема о сходимости ряда Фурье кусочно-гладкой функции Доказательство теоремы Основная лемма Чётная и нечётная часть

Лекция 13. Общий ряд Фурье. Ортогональные системы функций.
Ряд Фурье в комплексной форме Норма Сходимость в среднем Задача Равенство Бесселя Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля

Лекция 14. Равномерная сходимость и почленное дифференцирование рядов Фурье.
Ряд Фурье с точки зрения теоретической физики Теорема о равномерной сходимости ряда Фурье кусочно-гладкой функции Коэффициенты Фурье для кусочно-непрерывной функции Неравенство Бесселя Теорема о почленном дифференцировании ряда Фурье Ряд Фурье функции многих переменных Формулировка и доказательство полноты тригонометрической системы Аппроксимация функции Лемма об аппроксимации Теорема Вейерштрасса

Лекция 15. Замкнутые и полные системы функций.
Теорема Вейерштрасса Доказательство теоремы Вейерштрасса Теорема о тригонометрическом полиноме Доказательство теоремы Теорема о замкнутости тригонометрической системы Равенство Парсеваля Доказательство Теорема о различных представлениях функции Определение замкнутой ортогональной системы Теорема о полноте замкнутой системы Интеграл Фурье (начало)

Лекция 16. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье.
Интеграл Фурье Теорема Преобразование Фурье Комплексная форма рядов Фурье Дифференцирование функции Анализ несобственного интеграла Несколько примеров для решения физических задач Пример с колебательной системой

Лекция 17. Обобщённые функции.
Теория обобщенных функций Слабая сходимость Непрерывные функции Пример слабой сходимости расходящейся последовательности О подходе Лорана-Шварца О втором подходе О понятии слабой сходимости Слабая сходимость Критерий Коши Определение эквивалентных последовательностей Линейный функционал Как в теории Шварца уточняется понятие обобщённых функций Понятие носителя функции Как дифференцировать дельта-функцию Вычисление коэффициентов Фурье дельта-функции Вычисление коэффициентов Фурье Ядро Дирихле Обратное преобразование Фурье

Лекция 18. Физические приложения. Описание магнитного поля в проводящей среде.
Физические идеи в матанализе Откуда берётся магнитное поле Магнитное число Рейнольдса Закон Ома Уравнения Максвелла Решения уравнений Максвелла График некоторого дисперсионного соотношения Интегральные уравнения, связанные с интегралами Фурье Свертка

Лекция 19. Фурье-анализ и вейвлет-анализ.
Матанализ в астрономической задаче, в современной науке Среднее месячное число солнечных пятен как функция времени Фурье-анализ Широтно-временная диаграмма Баттерфляй-диаграмма Маундера Вейвлет-коэффициент Аналог спектра Фурье Применение идеи к солнечной активности Анализ графика