Войти
Математика 27 лекций
Математический анализ. Часть 3
Лектор
Солодов Алексей Петрович
#лекции
Механико-математический факультет
III семестр
2022

Список всех тем лекций

Лекция 1. Числовые ряды.
Введение Пример, показывающий преимущества рядов Понятие числового ряда Теорема о сумме ряда из первых разностей Ряд обратных квадратов

Лекция 2. Исследование сходимости числовых рядов.
Линейная комбинация рядов Остаток ряда Необходимое условие сходимости числового ряда Абсолютная сходимость Исследование сходимости обобщенного гармонического ряда Исследование сходимости ряда с логарифмом Расстановка скобок в ряде

Лекция 3. Бесконечные произведения и их приложение.
Расстановка скобок в ряде (продолжение) Его сходимость Представление некоторых функций в виде бесконечных произведений

Лекция 4. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Повторение Теорема о перестановке членов знакопостоянного ряда Связь абсолютной и безусловной сходимости Признак сравнения Теорема о сравнении скоростей убывания членов двух знакопостоянных рядов Асимптотический признак сравнения Признак Даламбера Признак Коши Теорема Гаусса Признак Бертрана

Лекция 5. Знакопеременные ряды. Теорема Римана.
Теорема Коши о разряжении Теорема об отсутствии оптимального расходящегося ряда Рассмотрение частного случая Обратная теорема Знакопеременные ряды (основные понятия) Свойство условно сходящегося ряда Теорема Римана

Лекция 6. Признаки сходимости знакочередующихся рядов.
Условная сходимость Остаток ряда типа Лейбница Тождество Абеля Теорема о равносходимости исходного знакочередующегося ряда и ряда, преобразованного по Абелю Признак Дирихле Примеры последовательностей Признак Абеля

Лекция 7. Перемножение рядов.
Перемножение рядов по Коши Теорема Мертенса Пример

Лекция 8. Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
Примеры Вспомогательные неравенства Основные методы исследования на сходимость несобственных интегралов Теорема о замене переменной Сходимость интегралов от неотрицательных функций Двусторонняя оценка остатка интеграла через остаток ряда

Лекция 9. Условная сходимость несобственных интегралов. Равномерная сходимость функциональных последовательностей.
Повторение Понятие абсолютной и условной сходимости Интегрирование по частям Признак Дирихле Признак Абеля Поточечная сходимость функциональных последовательностей Равномерная сходимость функциональной последовательности Локальная равномерная сходимость Свойство линейности трех видов сходимости Супремум-критерий Определение функционального ряда

Лекция 10. Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей.
Введение Теорема о равномерной сходимости остатка ряда к нулю Необходимое условие равномерной сходимости ряда Признак Коши Мажорируемая сходимость Теорема о равносходимости функционального ряда и ряда, преобразованного по Абелю Признак Дирихле равномерной сходимости

Лекция 11. Признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей (продолжение).
Повторение Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда Признак Дини равномерной сходимости функциональной последовательности Признак Дини равномерной сходимости функционального ряда Теорема о перестановке пределов

Лекция 12. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов.
Теорема о перестановке предела Теорема о переходе к пределу под знаком суммы Ослабление требования на равномерную сходимость Теорема о дифференцируемости предела функциональной последовательности Теоремы об интегрируемости предельной функции Теорема об интегрируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функций, интегрируемых в смысле Ньютона Теорема об интегрируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функций, интегрируемых по Риману

Лекция 13. Степенные ряды и их свойства.
Теорема об интегрируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функций, интегрируемых по Риману Критерий равномерной сходимости рядов Полнота линейного пространства пространства С [a,b] Теорема Коши-Адамара Локально равномерная сходимость степенного ряда Теорема Абеля Дифференцирование степенных рядов

Лекция 14. Ряды Тейлора.
Повторение Интегрирование степенных рядов Теорема единственности Критерий сходимости ряда Тейлора Достаточное условие сходимости ряда Тейлора Разложение в ряд Тейлора некоторых известных функций (cos(x), sin(x), exp(x)) Разложение в ряд Тейлора функции (1+x)^(m)

Лекция 15. Методы суммирования по Чезаро и Абелю.
Биномиальный ряд на полуинтервале и отрезке Разложение в ряд Тейлора некоторых известных функций (ln(1+x), arcsin(x), arctg(x)) Теорема о регулярности метода суммирования Чезаро Пример суммирования расходящегося ряда методом Чезаро Границы использования метода суммирования Чезаро Его регулярность Пример суммирования расходящегося ряда методом Абеля Теорема Фробениуса о связи метода Чезаро и Абеля

Лекция 16. Теорема Таубера. Сходимость тригонометрических рядов.
Пример (теорема Фробениуса) Теорема Таубера Определение тригонометрических рядов Следствие Критерий равномерной сходимости ряда по косинусам на отрезке Критерий равномерной сходимости ряда по синусам на отрезке

Лекция 17. Критерий равномерной сходимости ряда по синусам на всей числовой прямой. Следствия.
Повторение Доказательство необходимости критерия равномерной сходимости по синусам Доказательство достаточности критерия равномерной сходимости по синусам Теорема о непрерывности сумм тригонометрических рядов Теорема об ограниченности sup модуля частичных сумм тригонометрических рядов

Лекция 18. Дифференцируемость лакунарных рядов. Параметрические семейства.
Теорема о дифференцируемости такого ряда Сходимость по параметру семейства функций (равномерная, поточечная и локально равномерная) Супремум-критерий для параметрических семейств Замкнутость операции сходимости относительно линейной комбинации Критерий Коши равномерной сходимости для параметрических семейств

Лекция 19. Свойства равномерно сходящихся параметрических семейств.
Введение Признак равномерной сходимости Дини для параметрических семейств Теорема о перестановке предельных переходов Теорема о равномерной сходимости непрерывной в прямоугольнике функции Теорема о существовании и равенстве повторных пределов Следствия

Лекция 20. Свойства равномерно сходящихся параметрических семейств. Собственные интегралы, зависящие от параметра.
Повторение Теорема о коммутативности перехода к пределу и операции взятия производной Следствия Собственные интегралы, зависящие от параметра Теорема о непрерывности по параметру собственного интеграла Правило дифференцирования Лейбница собственного интеграла, зависящего от параметра

Лекция 21. Исследование на равномерную сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Повторение Теорема об интегрировании по параметру собственного интеграла, зависящего от параметра Сходимость Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра (супремум-критерий, признак Коши, Вейерштрасса и др) Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Лекция 22. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Повторение Признак Дини равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра Теорема о перестановке предельного перехода Следствия Следствие Теорема о перестановке собственного и несобственного интегралов Теорема о перестановке двух несобственных интегралов

Лекция 23. Гамма- и бета-функции.
Примеры важнейших несобственных интегралов Гамма-функция и бета-функция Область определения Непрерывность Дифференцируемость n-ого порядка Рекуррентная формула Рекуррентная формула Значение производной гамма-функции от единицы

Лекция 24. Производные гамма-функции. Связь гамма- и бета-функции.
Повторение Значения производной гамма-функции во всех целых точках Значение второй производной гамма-функции от единицы Значения второй производной гамма-функции во всех целых точках Эйлеровы интегралы: связь гамма- и бета-функции

Лекция 25. Формула дополнения для гамма-функции.
Повторение Связь гамма- и бета-функции Формула дополнения

Лекция 26. Асимптотика интеграла типа Лапласа.
Введение Асимптотика интеграла типа Лапласа, для случая, когда max g(x) - краевой Асимптотика интеграла типа Лапласа через вторую производную

Лекция 27. Формулы Валлиса и Стирлинга.
Повторение до pi от функции x*(sin(x))^2n Асимптотика Гамма-функции Уточнение формулы Валлиса Уточнение формулы Стирлинга

Связанные курсы