Курс лекций "Математический анализ", читающийся на факультете ВМК МГУ на 1 курсе

Список всех тем лекций

Лекция 1. Элементы теории множеств. Числовая ось, бесконечные десятичные дроби. Множество вещественных чисел.
Введение Множества и операции над ними Бесконечные десятичные дроби Сравнение бесконечных десятичных дробей Транзитивность сравнения вещественных чисел

Лекция 2. Ограниченные множества. Супремум и инфимум. Приближение вещественных чисел рациональными.
Введение Супремум и инфимум Теорема о существовании супремума и инфимума Приближение вещественных чисел рациональными Свойства сравнения, сложения и умножения рациональных чисел

Лекция 3. Сложение и умножение вещественных чисел. Обратное вещественное число.
Введение Обратное вещественное число Доказательство корректности определения суммы вещественных чисел Доказательство корректности определения произведения вещественных чисел Доказательство корректности определения обратного вещественного числа Свойства сравнения, сложения и умножения вещественных чисел

Лекция 4. Взаимно однозначное отображение. Мощность множества.
Введение Взаимно однозначное отображение Мощность множества, теорема Кантора Изоморфизм множеств с одинаковыми правилами и свойствами Сравнение мощностей множеств рациональных и вещественных чисел Аксиоматическое определение множества вещественных чисел

Лекция 5. Последовательности вещественных чисел. Предел последовательности.
Введение Ограниченные и неограниченные последовательности Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Единственность предела Отбрасывание членов последовательности

Лекция 6. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности.
Арифметические операции над сходящимися последовательностями Предельный переход в неравенствах для последовательностей Понятие эпсилон-окрестностей конечных и бесконечных точек Монотонные последовательности и их свойства

Лекция 7. Число Эйлера. Предельные точки множества и последовательности.
Число e как предел монотонной ограниченной последовательности Иррациональность числа e Предельные точки множества и последовательности

Лекция 8. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы последовательности.
Введение Теорема Больцано-Вейерштрасса Верхний и нижний пределы последовательности Бесконечные предельные точки множества и последовательности

Лекция 9. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Функция одной вещественной переменной. Предел функции.
Фундаментальные последовательности Критерий Коши сходимости последовательности Функции одной вещественной переменной Предел функции Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне Односторонние пределы

Лекция 10. Критерий Коши. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Введение (учебные пособия) Бесконечные пределы и пределы на бесконечности Общее определение предела функции Критерий Коши существования конечного предела функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства Асимптотическое сравнение функций Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Лекция 11. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Предел сложной функции. Предельный переход в неравенствах для функций. Непрерывность функции в точке.
Примеры и упражнения Предел "сверху" и "снизу" Предел сложной функции Предельный переход в неравенствах для функций Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции и их классификация

Лекция 12. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность.
Локальные свойства непрерывных функций Непрерывность сложной функции Непрерывность функции на множестве Первая теорема Вейерштрасса Вторая теорема Вейерштрасса Теорема Кантора

Лекция 13. Теорема о прохождении непрерывной функции через ноль. Монотонная функция. Обратная функция. Непрерывность обратной функции.
Колебание функции на отрезке Теорема о прохождении непрерывной функции через ноль Обратная функция Поведение монотонной функции на отрезке Непрерывность монотонной функции на отрезке Непрерывность обратной функции

Лекция 14. Непрерывность элементарных функций. Первый и второй замечательные пределы.
Элементарные функции Доказательство непрерывности простейших элементарных функций Первый замечательный предел Второй замечательный предел

Лекция 15. Таблица эквивалентностей бесконечно малых функций. Производная и дифференциал функции одной переменной.
Таблица эквивалентностей бесконечно малых функций Односторонние производные Физический и геометрический смысл производной Дифференциал функции Производная сложной и обратной функций Инвариантность формы записи первого дифференциала

Лекция 16. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Таблица производных. Производные высших порядков.
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций Пример непрерывной, но не дифференцируемой функции Производные простейших элементарных функций Применение первого дифференциала в приближенных вычислениях Дифференцирование с помощью логарифмирования Формула Лейбница

Лекция 17. Дифференциалы высших порядков. Производные параметрически заданных функций и вектор-функций. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум функции.
Пример на формулу Лейбница Неинвариантность формы записи второго дифференциала Дифференцирование параметрически заданных функций Вектор-функция и ее производная Достаточные условия возрастания (убывания) функции в точке Необходимые условия локального экстремума Свойства функций, дифференцируемых на интервале: теоремы Ролля и Лагранжа

Лекция 18. Следствия из теоремы Лагранжа. Теорема Коши. Правила Лопиталя. Формула Тейлора.
Следствия из теоремы Лагранжа Теорема Коши Первое правило Лопиталя Примеры раскрытия неопределенностей Формула Тейлора

Лекция 19. Формула Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, с остаточным членом в форме Коши Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Оценка остаточного члена формулы Тейлора Формулы Маклорена для некоторых простейших элементарных функций Применение формулы Тейлора-Маклорена для приближенных вычислений

Лекция 20. Неопределенный интеграл.
Единственность разложения функции по формуле Тейлора Свойства неопределенного интеграла Таблица интегралов от некоторых функций Основные приемы вычисления неопределенного интеграла Примеры Краткие сведения о комплексных числах

Лекция 21. Интегрирование рациональных дробей.
Основная теорема алгебры Разложение вещественного многочлена на множители Разложение рациональной дроби в сумму простейших дробей Интегрирование рациональных дробей

Лекция 22. Интегрирование тригонометрических выражений, дробно-линейных и квадратичных иррациональностей. Первое достаточное условие локального экстремума.
Пример интегрирования рациональной функции Многочлены и рациональные функции от двух переменных Интегрирование дробно-линейных иррациональностей Подстановки Эйлера Примеры Введение Первое достаточное условие для существования локального экстремума

Лекция 23. Достаточные условия локального экстремума. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
Вариант первого достаточного условия локального экстремума Второе достаточное условие для существования локального экстремума Третье достаточное условие для существования локального экстремума Примеры Достаточное условие выпуклости графика функции вверх (вниз) на интервале Необходимое условие перегиба графика

Лекция 24. Достаточные условия точки перегиба. Асимптоты графика функции. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на множестве.
Первое достаточное условие существования точки перегиба Второе и третье достаточные условие существования точки перегиба Точка изменения выпуклости графика Необходимое и достаточное условие наклонной асимптоты Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на множестве Заключение