Список всех тем лекций

Лекция 1. Мера Лебега плоских множеств.
Операции над множествами Построение меры Лебега плоских множеств Правильные прямоугольники на плоскости Площадь правильного прямоугольника Элементарное множество Мера элементарного множества Свойства меры элементарного множества Понятие внешней меры Лебега Множества, измеримые по Лебегу Свойство конечной аддитивности внешней меры Лебега

Лекция 2. Абстрактная мера Лебега.
Резюме материала предыдущей лекции Понятие измеримости по Лебегу функции Свойства измеримых по Лебегу функций Построение интеграла Лебега для простых функций Понятие характеристической функции Интеграл измеримой по Лебегу функции Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции Теорема о счетной аддитивности интеграла Лебега

Лекция 3. Свойства интеграла Лебега.
Равномерная сходимость Сходимость почти всюду Сходимость по мере Как связаны виды сходимостей Теорема Егорова Неравенство Чебышева Абсолютная непрерывность интеграла Лебега Теорема Лебега (о предельном переходе под знаком интеграла) Теорема Леви Лемма Фату

Лекция 4. Метрические пространства. Пространства Лебега.
Пространство всех измеримых по Лебегу функций Метрическое пространство Классы функций Линейное нормированное пространство Арифметическое неравенство Гельдера Неравенство Гельдера для функций Неравенство Минковского Метрические пространства Замкнутое множество Точка прикосновения Теорема о замкнутом множестве Лемма о топологии

Лекция 5. Метрические пространства. Часть 2.
Пример замкнутого четного пересечения открытых множеств Пример объединения конечного числа замкнутых множеств Свойства замыкания Непрерывное отображение метрических пространств Теорема об открытом отображении Эквивалентность определений по Коши и по Гейне Компактные множества Свойства компактных множеств

Лекция 6. Метрические пространства. Часть 3.
Полное метрическое пространство Изометричные отображения метрических пространств Теорема (продолжение изометрии) Лемма Определение пополнения метрического пространства Теорема о пополнении

Лекция 7. Топологические пространства.
Примеры Фундаментальная система окрестностей (ФСО) Локальная база топологий Теорема о ФСО Примеры Переформулировка основных понятий Лемма о совпадении замыкания и добавления множества Внутренность множества, граница множества

Лекция 8. Векторные топологические пространства.
Скобки двойственности Векторные топологические пространства Определение векторного топологического пространства (ВТП) Непрерывность операций на ВТП Примеры ВТП Лемма  Лемма  Сопряженное пространство Уравновешенное множество Лемма Понятие полунормы Функционал Минковского

Лекция 9. Банаховы пространства. Теорема Хана - Банаха.
Банахово пространство Примеры Пространство линейных непрерывных операторов Лемма о непрерывности оператора Теорема о действии оператора в банаховом пространстве * - слабая сходимость Теорема Хана - Банаха

Лекция 10. Теорема Банаха - Штейнгауза.
Теорема Хана - Банаха в комплексном случае Следствия Виды сходимости в банаховых пространствах Теорема Банаха - Штейнгауза

Лекция 11. Следствия из теоремы Банаха - Штейнгауза. Виды сходимости.
Следствия из теоремы Банаха - Штейнгауза Сильно -, слабо - и * - слабая фундаментальная последовательность Теорема о * - слабой полноте банахова пространства Слабая полнота рефлексивного банахова пространства Критерии сходимости Теорема об открытом отображении

Лекция 12. Спектральная теория операторов.
Теорема об открытом отображении Банахова алгебра с единицей Интеграл Бохнера Обратимые элементы банаховой алгебры Непрерывность резольвенты Спектр

Лекция 13. Гильбертовы пространства. Общая теория.
Алгебра функций Предгильбертово пространство Неравенство Коши - Буняковского Норма на предгильбертовом пространстве Гильбертово пространство Равенство параллелограмма Теорема Беппо Леви Разложение по базису