Курс «Линейная алгебра» читается студентам первого курса физического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова во 2 семестре.

Структура курса:

1. Матрицы. Определители. Системы линейных уравнений.
2. Линейные, евклидовы и унитарные пространства. Линейные операторы.
3. Квадратичные и билинейные формы.
4. Тензоры. Группы.

Линейная алгебра является наиболее широко используемым аппаратом для всех разделов чистой и прикладной математики — от теории алгебраических чисел до квантовой механики. Логическая структура линейной алгебры проста и основывается на небольшом числе удобных в обращении понятий и аксиом.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Понятие линейного пространства. Свойства линейного пространства.
Повторение основных понятий Аксиомы векторного пространства Примеры векторных пространств Утверждения о единственности Линейная комбинация и линейная оболочка

Лекция 2. Изоморфизм. Преобразование координат.
Теоремы о линейной оболочке Изоморфизм векторных пространств Преобразование координат

Лекция 3. Линейные функционалы и линейные операторы.
Линейные функционалы Важные примеры линейных функционалов Обозначения Дирака Линейные операторы

Лекция 4. Матрица линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора.
Линейные операторы Ядро и образ линейного оператора

Лекция 5. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса Собственные значения и собственные векторы линейного оператора Вычисление собственных значений и собственных векторов

Лекция 6. Квадратичные и билинейные формы.
Билинейные и квадратичные формы

Лекция 7. Связь квадратичных и билинейных форм.
Билинейные формы и их связь с квадратичными

Лекция 8. Скалярное произведение в различных линейных пространствах.
Пространства со скалярным произведением Векторные пространства над полем комплексных чисел

Лекция 9. Ортогональные и ортонормированные базисы. Ортогонализация векторов.
Ортогональные и ортонормированные базисы Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Лекция 10. Ковариантные и контравариантные координаты.
Ковариантные и контрвариантные координаты Понятие группы Свойства ортогональных унитарных матриц Группа О(2)

Лекция 11. Псевдоевклидово пространство. Операторы в евклидовых и унитарных пространствах.
Псевдоевклидовы пространства Сопряженный оператор Теорема Фредгольма

Лекция 12. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Самосопряженные операторы Приведение квадратичной формы к каноническому виду Приведение двух квадратичных форм к каноническому виду

Лекция 13. Понятие тензора. Свойства и операции над тензорами.
Основные свойства и операции Действия над тензорами Тензоры в евклидовом пространстве