Войти
Математика 26 лекций
Линейная алгебра и геометрия
2195
0
Лектор
Мануйлов Владимир Маркович
#лекции
1 курс
Механико-математический факультет
II семестр
2020

Курс «Линейная алгебра и геометрия» читается студентам первого курса механико-математического факультета во 2 семестре. 

В рамках курса рассматриваются линейные, евклидовы и унитарные пространства, процесс ортогонализации, линейные операторы: линейные отображения, инвариантное подпространство, собственные значения и собственные векторы, Жорданова нормальная форма оператора; операторы в евклидовых и унитарных пространствах: сопряженный оператор, изометрии, ортогональные и унитарные оператор; билинейные и полуторалинейные функции: билинейные формы, симметричные и кососимметричные функции, нормальный вид матрицы (косо)симметрической функции, теорема Якоби, критерий Сильвестра, пространства с обобщенным скалярным произведением; тензоры: пространство тензоров, базис, свертка тензоров.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные определения линейной алгебры и их свойства.
1.Примеры линейных пространств  2.Формальное определение линейного пространства, его свойства 3.Следствия из аксиом линейного пространства и их доказательства 4.Аффинные пространства и его свойства   5.Связь линейного и аффинного пространства, примеры 6.Определение линейного подпространство, его примеры и свойства 7.Определение линейной оболочки Линейная оболочка является линейным подпространством Определение линейного подмногообразия, примеры Совпадение линейных подмногообразий Множество линейных подмногообразий Определение фактор-пространства 

Лекция 2. Определение базиса и координат.
Линейная оболочка бесконечного множества Линейная оболочка -- линейное подпространство Линейная зависимость/независимость и леммы связанные с ней  Основная лемма о линейной зависимости Определение размерности линейных пространств Примеры размерности линейных пространств Множество максимальных элементов Определение базиса Лемма о дополнении базиса пространства и ее следствия Координаты элемента в базисе, матрица перехода 

Лекция 3. Понятие изоморфизма и двойственного пространства.
Обозначения в лекциях Изоморфизм линейных пространств Изоморфизм -- отношение эквивалентности  Лемма о базисе в пространстве изоморфном данному Изоморфизм линейного пространства пространству строк Линейные функции и их примеры Определение двойственного линейного пространства Координаты линейных функций Двойственный базис Зависимость от базиса 

Лекция 4. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств.
2.Координаты функции в двойственном базисе и их изменение при переходе к другому базису 3.Пример двойственного пространства к пространству многочленов  4.Второе двойственное пространство 5.Сумма и пересечение подпространств 6.Теорема о размерности 7.Определение прямой суммы подпространств

Лекция 5. Ядро и образ линейного отображения, евклидовы и эрмитовы пространства.
1.Внешняя прямая сумма подпространств 2.Определение линейного отображения и его примеры 3.Матричная запись линейного отображения 4.Пространство L(V,W) и его размерность 5.Изменение матриц при изменении базиса 6.Ядро и образ линейного отображения 7.Композиция отображений 8.Евклидово пространство 9.Эрмитово пространство 10.Примеры скалярных произведений

Лекция 6. Неравенство Коши-Буняковского и процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.
1.Неравенство Коши-Буняковского 2.Следствия неравенства Коши-Буняковского 3.Ортогонализация Грама-Шмидта  4.Ортогональное дополнение и его свойства 5.Проекция и ортогональная составляющая

Лекция 7. Применение проекции и ортогональной составляющей и матрица Грама.
1.Расстояние от вектора до подпространства 2.Угол между вектором и подпространством 3.Матрица Грама и ее связь с объемом n-мерного параллелепипеда 4.Следствие из теоремы о связи матрицы Грама и объема 5.Зависимость матрицы Грама от базиса 6.Определение псевдорешения и леммы связанные с ним

Лекция 8. Билинейные функции, их матрицы и ядра.
1.Билинейные функции и примеры 2.Матрица билинейной функции и их примеры  3.Зависимость матрицы билинейной функции от базиса 4.Ранг матрицы билинейной функции 5.Левое и право ядро билинейной функции  6.Лемма о размерности ядер

Лекция 9. Функции со свойствами симметрии и ортогональные дополнения.
1.Симметричные и кососимметричные функции 2.Квадратичная функция 3.Полуторалинейные функции 4.Ортогональность относительно функции 5.Ортогональное дополнение 6.Теорема о размерности ортогонального дополнения Лемма о пересечении пространства и его ортогональные дополнения 8.Невырожденность

Лекция 10. Билинейные функции и их различный вид. Теорема инерции.
2.Билинейная симметричная функция над R и C 3.Полуторалинейные эрмитовы функции над С 4.Кососимметричная билинейная функция 5.Теорема о нормальном виде билинейных функций со свойствами симметрии 6.Теорема единственности нормального вида 7.Теорема инерции 8.Метод Лагранжа для приведение квадратичной функции к нормальному виду

Лекция 11. Теорема Якоби и критерий Сильвестра.
1.Теорема Якоби об угловых минорах 2.Критерий Сильвеста 3.Псевдоевклидово пространство и его примеры

Лекция 12. Псевдоортонормированный базис и симметричные билинейные функции.
1.Ортонормированный базис в псевдоевклидовом пространстве 2.Группа псевдоортонормированных матриц 3.Симметричные билинейные функции в евклидовом пространстве 4.Приведение квадратичной функции к каноническому виду в евклидовом пространстве 5.Единственность канонического вида  6.Квадратичная функция зависящая от Lambda

Лекция 13. Характеристический многочлен и определение линейного оператора.
1.Определение характеристического многочлена 2.Зависимость характеристического многочлена от базиса 3.Лемма о корне характеристического многочлена 4.Теорема об одновременном приведении одной квадратичной функции к каноническому виду, а другой - к нормальному Операторы в линейных пространствах 6.Инвариантное подпространство и его примеры

Лекция 14. Матрица линейного оператора и собственные значение.
1.Примеры инвариантных подпространств 2.Инвариантность ядра и образа линейного оператора 3.Ограничение оператора на инвариантное подпространство 4.Фактор-оператор 5.Матрица оператора обладающего инвариантным подпространством 6.Невырожденный оператор и эквивалентные утверждения  7.Собственные значения и собственные вектора и их примеры 8.Нахождение собственных векторов 9.Множество собственных значений - инвариантное линейное подпространство

Лекция 15. Оператор проектирования, аннулирующий, минимальный и характеристический многочлен.
Оператор проектирования 2.Теорема о равносильности геометрического и алгебраического определения 3.Матрица оператора проектирования 4.Многочлены от операторов и матриц 5.Аннулирующий многочлен 6.Минимальный многочлен 7.Характеристический многочлен

Лекция 16. Теорема Гамильтона - Кэли и диагонализируемые операторы.
1.Теорема Гамильтона - Кэли 2.Диагонализируемые операторы 3.Лемма о верхнетреугольном виде матрицы оператора

Лекция 17. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств и Теорема о жордановой форме.
1.Корневые подпространства и лемма о стабилизации Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств 3.Следствия из теоремы  4.Теорема о приведении к жордановой форме оператора с единственным собственным значением 

Лекция 18. Приведение матрицы оператора к жордановой форме.
1.Дополнение к доказательству теоремы о корневом разложении 2.Продолжение доказательства теоремы о приведении к жордановой форме оператора с единственным собственным значением  3.Приведение матрицы оператора к жордановой форме 4.Единственность жордановой формы

Лекция 19. Овеществление и комплексификация.
1.Овеществление линейных пространств 2.Овеществление операторов 3.Комплексификация линейных пространств и операторов 4.Существование одномерных или двумерных инвариантных подпространств над R

Лекция 20. Самосопряженный и кососимметрический оператор.
1.Сопряженный оператор, определение и свойства 2.Определение самосопряженного и кососимметрического оператора 3.Лемма о инвариантности ортогонального дополнения 4.Свойства самосопряженных и кососимметрических операторов 5.Теорема о диагональном виде матрицы самосопряженного и косоэрмитового оператора 

Лекция 21. Теорема о каноническом виде кососимметричных операторов. Изометрические и унитарные операторы.
1.Доказательство теоремы о каноническом виде кососимметричных операторов 2.Единственность канонического вида 3.Изометрические операторы и их свойства 4.Канонический вид унитарного оператора

Лекция 22. Унитарные и ортогональные операторы и теореме о приведении двух самосопряженных операторах.
1.Канонический вид унитарного оператора 2.Канонический вид ортогонального оператора 3.Комплексификация ортогонального оператора 4.Нормальные операторы 5.Одновременное приведение 2-х самосопряженных операторов к каноническому виду

Лекция 23. Канонический изоморфизм и полярное разложение.
1.Продолжение доказательства теоремы об одновременное приведение 2-х самосопряженных операторов к каноническому виду 2.Канонический изоморфизм 3.Положительные и неотрицательные операторы 4.Полярное разложение

Лекция 24. Векторы, как линейные функции на двойственном пространстве и определение тензора.
1.Продолжение доказательства теоремы о полярном разложении 2.Векторы, как линейные функции на двойственном пространстве 3.Полилинейные функции 4.Определение тензора 5.Координаты тензоров

Лекция 25. Тензорное умножение, Базис тензоров и свертка.
1.Альтернативное определение тензора  2.Тензорное умножение тензоров 3.Базис тензоров типа (p, q) 4.Свертка тензора 5.Примеры свертки

Лекция 26. Альтернирование и внешнее умножение кососимметричный тензоров.
1.Поднятие и опускание индексов в евклидовых пространствах 2.Симметричные и кососимметричные тензоры 3.Альтернирование Внешнее умножение кососимметричный тензоров

Рекомендованные курсы