Линейная алгебра и геометрия
Курс «Линейная алгебра и геометрия» читается студентам первого курса механико-математического факультета во 2 семестре.
В рамках курса рассматриваются линейные, евклидовы и унитарные пространства, процесс ортогонализации, линейные операторы: линейные отображения, инвариантное подпространство, собственные значения и собственные векторы, Жорданова нормальная форма оператора; операторы в евклидовых и унитарных пространствах: сопряженный оператор, изометрии, ортогональные и унитарные оператор; билинейные и полуторалинейные функции: билинейные формы, симметричные и кососимметричные функции, нормальный вид матрицы (косо)симметрической функции, теорема Якоби, критерий Сильвестра, пространства с обобщенным скалярным произведением; тензоры: пространство тензоров, базис, свертка тензоров.
Страница курса: http://higeom.math.msu.su/teac...
- 01:17:55Лекция 1. Основные определения линейной алгебры и их свойства
- 01:20:16Лекция 2. Определение базиса и координат
- 01:24:26Лекция 3. Понятие изоморфизма и двойственного пространства
- 01:23:56Лекция 4. Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств
- 01:25:18Лекция 5. Ядро и образ линейного отображения, евклидовы и эрмитовы пространства
- 01:24:04Лекция 6. Неравенство Коши-Буняковского и процесс ортогонализации Грамма-Шмидта
- 01:21:26Лекция 7. Применение проекции и ортогональной составляющей и матрица Грама
- 01:23:04Лекция 8. Билинейные функции, их матрицы и ядра
- 01:21:24Лекция 9. Функции со свойствами симметрии и ортогональные дополнения
- 01:23:57Лекция 10. Билинейные функции и их различный вид. Теорема инерции
- 01:22:14Лекция 11. Теорема Якоби и критерий Сильвестра
- 01:21:40Лекция 12. Псевдоортонормированный базис и симметричные билинейные функции
- 01:21:48Лекция 13. Характеристический многочлен и определение линейного оператора
- 01:19:34Лекция 14. Матрица линейного оператора и собственные значение
- 01:20:51Лекция 15. Оператор проектирования, аннулирующий, минимальный и характеристический многочлен
- 01:03:51Лекция 16. Теорема Гамильтона - Кэли и диагонализируемые операторы
- 01:22:58Лекция 17. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств и Теорема о жордановой форме
- 01:17:13Лекция 18. Приведение матрицы оператора к жордановой форме
- 01:23:35Лекция 19. Овеществление и комплексификация
- 01:24:13Лекция 20. Самосопряженный и кососимметрический оператор
- 01:24:28Лекция 21. Теорема о каноническом виде кососимметричных операторов. Изометрические и унитарные операторы
- 01:24:37Лекция 22. Унитарные и ортогональные операторы и теореме о приведении двух самосопряженных операторах
- 01:24:55Лекция 23. Канонический изоморфизм и полярное разложение
- 01:23:47Лекция 24. Векторы, как линейные функции на двойственном пространстве и определение тензора
- 01:25:20Лекция 25. Тензорное умножение, Базис тензоров и свертка
- 01:18:23Лекция 26. Альтернирование и внешнее умножение кососимметричный тензоров