Спецкурс в основном ориентирован на студентов старших курсов, но для его понимания достаточно курса алгебры и теории вероятностей в объеме первых двух лет обучения на мехмате.

Статистическая механика возникла на стыке 19-го и 20-го веков, как область физики, позволившая объяснить некоторые фазовые переходы. Однако, в конце 20-го века эта область очень плотно вошла в современную фундаментальную математику. 

Оказалось, что в виде статистической суммы (производящей функции вероятностей состояний модели) представляются некоторые инварианты узлов, топологические инварианты 3-х мерных многообразий, некоторые полиномиальные инварианты графов и многие другие объекты.

Спецкурс в основном направлен на прояснение функториальной природы статистической суммы. Особое внимание будет уделено моделям в старших размерностях, то есть начиная с d=3, или двумерным полностью анизотропным моделям. 

Мы поговорим об интегрируемости таких моделей, связанной с решениями уравнения тетраэдров, о современной теории электрических сетей, связанной с областью кластерных алгебр. Большое внимание мы уделим инвариантам Татта, потоковому полиному, их связи с моделью Изинга, а также свойству полной положительности, которое имеет очень разнообразные инкарнации: от задачи Люстига, до позитроидов в теории электрических сетей.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Статистическая механика. Модель Изинга.
Введение Статистическая механика Модель Изинга Статистическая модель с граничными условиями Квантовые топологические теории поля Континуальный интеграл Инварианты Громова-Виттена Корреляционная длина в модели Изинга с внешним магнитным полем

Лекция 2. Модель взаимодействия Биггса.
Модель Изинга Модель взаимодействия Биггса Пример n-модель Поттса Операции над рёбрами графа Теорема Полином Татта Теорема Татта Теорема Татта 2 Решение модели Изинга Анонс следующей лекции

Лекция 3. Формула Биггса.
Модель Изинга Формула Биггса (высокотемпературное разложение Изинга) Пример (две модели Изинга) Комбинаторный смысл (теорема Матиясевича)

Лекция 4. Электрические сети.
Электрические сети Теорема Кирхгофа Утверждение Разложение функции в ряд Классическая задача электрических сетей

Лекция 5. Дискретная гармоническая функция.
Задача 1 Задача (определить токи, которые потекут через граничные точки) Задача (гармонический принцип) Дискретная гармоническая функция (определение и следствия) Альтернативы Фредгольма Задача про пьяницу Задача про электрические сети Метод релаксации Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Доказательство утверждения (предельная гармоническая функция) Задача про случайное блуждание Преобразование (проводимость электрической сети) Теорема Пойа

Лекция 6. Теория электрических сетей. Часть 1.
Теория электрических сетей Дискретный гармонический анализ Свойства задач про электрические сети Задача о случайных блужданиях Тепловая мощность и эффективная проводимость сети Утверждение о монотонности Задача на двумерной решётке Алгебраическая теория электрических сетей Утверждение

Лекция 7. Теория электрических сетей. Часть 2.
Теорема Пойа (случайное блуждание на решётке) Характеристика множества матрицы отклика Определения Теорема Теорема 2 Теорема (принцип наследования) Теорема 4 Определитель матрицы А

Лекция 8. Введение в алгебраическую структурную теорию электрических сетей.
Описание алгебраических свойств матрицы отклика Дополнения Шура Теорема 1 Теорема 2

Лекция 9. Преобразования сети, которые сохраняют матрицу отклика.
Лемма (к задаче про полную положительность) Преобразование  (преобразование не меняет свойства критичности) Лемма 3 Утверждение Уравнение Янга-Бакстера Теорема Срединный граф

Лекция 10. Комбинаторика. Уравнение n-симплекса.
Срединный граф Преобразование звезда-треугольник Свойство графа быть критичным Лемма Теорема реконструкции весов на ребрах Уравнение n-симплекса Естественные комбинаторные структуры

Лекция 11. Уравнение n-симплекса.
Уравнение n-симплекса Определение - абсолютно входящие подграни Утверждение Лемма 1 Утверждение 2 Лемма 2 Уравнение тетраэдров Утверждение 3 Следствие Утверждение 4

Лекция 12. Порядок Брюа.
Преобразование звезда-треугольник Утверждение 1 Утверждение 2 Старший порядок Брюа Алгебраическая структура электрических сетей, связанная с кластерными алгебрами

Лекция 13. Вершинное представление задач про электрические сети.
Интерпретация закона Ома в терминах срединного графа Утверждение 1 Пример (на срединном графе) Теорема (для произвольного стандартного графа) Формула для матрицы граничных измерений для стандартного графа Задача Люстига Полная положительность