Список всех тем лекций

Лекция 1. Теория Фредгольма.
Постановка задачи Свойства оператора I-A 1-ая теорема Фредгольма 2-ая теорема Фредгольма 3-я теорема Фредгольма Уравнения Фредгольма 1-го и 2-го рода Следствие (спектр компактного оператора)

Лекция 2. Спектр компактного оператора. Полинормированные пространства.
Спектр компактного оператора (завершение) Полинормированные пространства Естественная топология в полинормированном пространстве Операторы в полинормированных пространствах Пространства основных функций

Лекция 3. Обобщенные функции. Сингулярность.
Повторение Утверждения про пространства основных функций Обобщенные функции Сингулярность дельта-функции Дирака Пример Порядок сингулярности обобщенной функции Носитель обобщенной функции

Лекция 4. Операции над обобщенными функциями.
Идея введения операций над обобщенными функциями Достаточное подпространство M *-слабая топология Теорема о полноте достаточного подпространства Утверждение о достаточных подпространствах Дифференцирование обобщенных функций Умножение на гладкую функцию Замена переменных в обобщенных функциях Теорема о представлении производной обобщенной функции

Лекция 5. Решение простейших уравнений в обобщенных функциях. Структура обобщенных функций.
Решение простейших уравнений Порядок сингулярности Структура обобщенных функций Теорема Лемма Теорема о представлении произвольной обобщенной функции

Лекция 6. Теоремы о носителе. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Теорема о носителе Теорема о разложении функции с одноточечным носителем Теорема о компактности носителя Преобразование Фурье обобщенных функций

Лекция 7. Преобразование Фурье в пространстве Шварца.
Свойства преобразования Фурье Условие Дини Теоремы Операторы M и D в пространстве Шварца Эквивалентность систем полунорм Теорема о непрерывности преобразования Фурье

Лекция 8. Формула обращения.
Леммы Формула обращения в S Теорема о непрерывном продолжении Следствие (ядро преобразования Фурье равно точке 0) Пример Интегральное тождество Парсеваля Преобразование Фурье в L2 Вспомогательные утверждения

Лекция 9. Преобразование Фурье в L2. Его спектр. Свертка.
Повторение Лемма о равенстве функций Теорема Планшереля Пример Схема рассмотрения преобразований Фурье Функция, убывающая экспоненциально Теорема о полноте системы функций Функции Эрмита Спектр преобразования Фурье в L2 Теорема (функции Эрмита являются собственными)

Лекция 10. Свертка функций.
Свертка основных функций Свойства свертки Пример Свертка как линейный оператор Свертка обобщенной и основной функции Примеры Свертка в других пространствах Свертка двух обобщенных функций Условия для свертки обобщенных функций Примеры Теорема

Лекция 11. Функциональное исчисление операторов.
Свертка в L2 Пример (оператор Гильберта) Пример Теорема об отображении спектра для многочленов Функциональное исчисление Теорема о непрерывном исчислении

Лекция 12. Борелевское функциональное исчисление. Конструкция интеграла Римана-Стилтьеса.
Повторение Борелевские ограниченные функции Борелевское функциональное исчисление для самосопряженного оператора A Проекторнозначная мера Конструкция интеграла Римана — Стилтьеса Теорема об интегральном представлении Примеры

Лекция 13. Спектральная теорема.
Спектральная теорема (в трех формулировках) Циклический вектор Теорема (о подобии оператору умножения на независимую переменную) Теорема (случай, когда нет циклического вектора) Теорема Следствие о подобных операторах Теорема (унитарные инварианты самосопряженного оператора)