Данный курс, читающийся на 4 курсе механико-математического факультета МГУ (финансовый поток) посвящен моделям с дискретным временем в задачах прогнозирования финансовых временных рядов.

Программа курса: Классификация ценных бумаг с точки зрения математического моделирования. Понятие (B,S)-рынка. Различные способы определения доходности. Различные виды временных рядов доходности, возникающих в финансовой практике (примеры). Статистические характеристики процессов доходности, которые требуется учитывать при построении вероятностной модели. Гипотеза о случайном блуждании. Характеристики реальных процессов изменения цен. Понятие эффективности (слабой, полустрогой и строгой) для рынков ценных бумаг. Процессы авторегрессии AR(p). Характеристическое уравнение процесса авторегресии. Теорема о представлении процесса авторегрессии в виде бесконечной линейной комбинации значений обновляющего процесса. Ковариационная функция стационарных процессов авторегресии. Уравнения Юла-Уолкера. Оптимальные в среднеквадратичном прогнозы для процессов авторегресии. Процессы скользящего среднего MA(q), характеристическое уравнение, ковариационная функция. Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего ARMA(p,q), представление в виде бесконечной линейной комбинации значений обновляющего процесса. Уравнения для ковариационной функции процесса ARMA(p,q). Качественное поведение ковариационной функции для процессов ARMA(p,q), AR(p) и MA(q). Оптимальный прогноз в ARMA(p,q) - модели. Нестационарная интегрированная модель ARIMA(p,d,q). Условие возникновения полиномиального тренда в процессах ARIMA(p,d,q). Оптимальный прогноз в модели ARIMA(p,d,q). Дробно-интегрированная модель ARIMA(p,d,q). Необходимость нелинейных моделей в вероятностном анализе процессов доходности. Процессы класса ARCH(p). Авторегрессионная модель с ARCH(1) процессом в качестве процесса обновления. Эффект кластерности. ARCH(1) модель с условно-гауссовскими распределениями, ее вероятностные свойства (кластерность, повышенный эксцесс). Модель GARCH(q,p) как обобщение модели ARCH(p). Условие стационарности процесса класса GARCH(q,p). Величина эксцесса в модели GARCH(q,p) с условно-гауссовским распределением. Интегрированная модель IGARCH(1,1) с условно-гауссовскими распределениями.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в финансово-экономическое управление.
Введение в финансово-экономическое управление Рынок ценных бумаг Эффективные рынки Доходность Требования к модели

Лекция 2. Статистические свойства процессов доходности.
Статистические свойства процессов доходности Классическая теория прогнозирования Теорема о разложении устойчивого процесса авторегрессии AR(p)

Лекция 3. Теорема о разложении устойчивого процесса авторегрессии.
Доказательство теоремы о разложении устойчивого процесса авторегрессии Первое следствие из теоремы Второе следствие из теоремы Третье следствие из теоремы

Лекция 4. Коэффициенты разложения.
Введение Уравнения для коэффициентов разложения Теорема об общем решении однородного разностного уравнения Примеры Ковариационная функция процесса авторегрессии Примеры Прогнозирование в модели AR(p)

Лекция 5. Модель скользящего среднего MA(q).
Теорема о прогнозе на S шагов в модели AR(p) Модель скользящего среднего MA(q) Производящая функция Произвольная ковариационная функция стационарного процесса Примеры скользящего среднего

Лекция 6. Процессы ARMA(p,q).
Процессы ARMA(p,q) Теорема разложения для устойчивых процессов ARMA(p,q) Ковариационная функция Нестационарные модели

Лекция 7. Процессы ARIMA (p,d,q).
Нестационарное среднее значение случайного процесса Процесс ARIMA (p,d,q) Недетерминированные "тренды" в ARIMA Прогнозирование в ARIMA-моделях

Лекция 8. Примеры прогнозирования в модели ARIMA.
Примеры прогнозирования в модели ARIMA Среднеквадратическая ошибка оптимального прогноза в модели ARIMA Примеры расчета ошибок Приведение корреляционной функции в модели ARIMA Дробно-интегрированная модель ARFIMA (p,d,q)

Лекция 9. Применение модели ARMA для процессов доходности.
Работоспособность модели ARMA Теорема Вольда Нелинейность процессов доходности Теорема об автокорреляциях линейного процесса Леммы о ковариации

Лекция 10. Статистика процессов доходности.
Линейный процесс с гауссовским белым шумом Лемма о справедливой оценке Статистика процессов доходности Процессы класса ARCH(p) Примеры

Лекция 11. Модель ARCH(1).
Модель ARCH(1) Свойства процессов ARCH Следствия из свойств Процессы GARCH(p,q)

Лекция 12. Модель GARCH(p,q).
Модель GARCH(p,q) Теорема о достаточных условиях стационарности Следствия из теоремы Пример для процесса GARCH Прогнозирование доходности

Лекция 13. Общая модель процессов доходности.
Общая модель процессов доходности Случай катастроф (скачков) Стохастическая волатильность ARCH-модели