Годовой курс «Уравнения математической физики» состоит из двух частей. Первая часть представляет собой сжатое изложение ряда классических результатов теории линейных уравнений с частными производными второго порядка и необходимых конструкций из теории обобщённых функций и пространств Соболева. Вторая часть должна познакомить студентов с более современными результатами для квазилинейных и нелинейных задач. В качестве приложений рассматриваются задача Коши для систем законов сохранения и задача о двойной пористости.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Воздействие языка математики на развитие натурфилософии.
Пример Юнга Уравнение Гамильтона-Якоби Роль математики в натурфилософии Введение ньютоновского потенциала и уравнения Лапласа Доказательство отсутствия максимума внутри

Лекция 2. Теорема о максимуме и минимуме. Обобщенные функции.
Единственность решения уравнения Пуассона Пробные функции и их свойства Регуляризация Комментарий к теореме о разбиение в сумму Регулярные обобщенные функции Сингулярные обобщенные функции Секвенциальная непрерывность

Лекция 3. Операции над обобщенными функциями.
Повторение Множество нулей обобщенной функции Регулярные обобщенные функции Примеры Пример 1: линейная замена независимых переменных Пример 2: дифференцирование Пример 3: домножение на гладкую функцию Теорема о дифференцировании кусочно-гладкой функции Пример применения теоремы

Лекция 4. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.
Операция свертки Решение примеров Фундаментальное решение уравнения Лапласа Упражнения на дом Теорема о среднем для гармонических функций

Лекция 5. Функция Грина краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Ослабление условия на гладкость Свойства гармонических функций Неравенство Харнака Теорема Лиувилля Определение функции Грина Построение функции Грина в полупространстве и четверти пространства методом отраженных зарядов Теорема о представлении решения задачи Дирихле с помощью функции Грина Формула Пуассона для шара Неравенство Харнака с точными константами

Лекция 6. Задача Неймана для уравнения Лапласа. Принцип Дирихле.
Представление функций в виде суммы трех потенциалов Единственность решения задачи Неймана Существование функции Грина для задачи Неймана Принцип Дирихле для гладких функций Принцип Дирихле для функций из пространства L2 Анонс метода Фурье

Лекция 7. Метод Фурье. Примеры.
Уравнение гиперболического типа без источника в квадрате Уравнение Лапласа в квадрате (интеграл по границе не равен нулю) Пример получения неклассического решения для уравнения Лапласа

Лекция 8. Волновое уравнение.
Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу Вывод формулы Кирхгофа Вывод формулы Пуассона из формулы Кирхгофа Доказательство единственности классического решения Аналог формулы Кирхгофа в произвольной нечетной размерности

Лекция 9. Уравнение теплопроводности.
Ядро Пуассона Анализ результата Пример: решить одномерную задачу Коши с функцией Гаусса Принцип Дюамеля Следствие Теорема единственности решения первой краевой задачи Пример О литературе по курсу

Лекция 10. Уравнение теплопроводности (продолжение). Гиперболическая система по Фридрихсу.
Единственность решения задачи Коши Гладкость решений уравнения теплопроводности Вывод интеграла энергии для гиперболических систем по Фридрихсу Пример: Уравнения трехмерной каустики Начало исследования теорем единственности задачи Коши

Лекция 11. Уравнение Гамильтона-Якоби.
Теорема единственности для областей с условием неотрицательности на границе Пример Уравнение Гамильтона-Якоби Алгоритм решения уравнения Гамильтона-Якоби Пример: распространение звуковых волн в движущейся среде

Лекция 12. Примеры выполнения условий теоремы единственности.
Алгоритм построения решения уравнения Гамильтона-Якоби Симметрическая система , описывающая распространение звуковых волн в движущейся среде Другой пример области единственности для той же системы (круг) Область единственности для случая, когда область задания начальных данных - две симметричные части оси Х Область единственности уравнений акустики Область единственности для системы уравнений звука в движущемся газе Понятие сеточных функций

Лекция 13. Сеточные функции. Критерий компактности.
Общий алгоритм действий Получение оценок в узлах по любому сечению Оценка квадратичных интегралов от производных проинтерполированной функции Получение оценок в узлах по прямой Следствие Более простые условия компактности

Лекция 14. Теорема существования.
Повторение Получение расширенной системы Основная теорема об оценке разностных решений Теорема существования Теорема Годунова