Годовой курс «Уравнения математической физики» состоит из двух частей. Первая часть представляет собой сжатое изложение ряда классических результатов теории линейных уравнений с частными производными второго порядка и необходимых конструкций из теории обобщённых функций и пространств Соболева. Вторая часть должна познакомить студентов с более современными результатами для квазилинейных и нелинейных задач. В качестве приложений рассматриваются задача Коши для систем законов сохранения и задача о двойной пористости.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Функции Шварца. Преобразование Фурье.
Примеры Леммы Преобразование Фурье Свойства

Лекция 2. Формула обращения преобразования Фурье.
Лемма Лемма Хермандера Формула обращения преобразования Фурье Принцип Дюамеля для уравнения теплопроводности Преобразование Фурье в L2

Лекция 3. Пространства Соболева.
Пример Лемма Теорема Пространства Соболева Теорема вложения (простейший вариант) Другое описание пространств Соболева Замыкание пространства пробных функций Теорема (неравенство Фридрихса) Некоторые понятия

Лекция 4. Свойства функций из пространства H1.
Теорема Неравенство Пуанкаре Теорема Реллиха - Кондрашова

Лекция 5. След функций. Краевая задача Дирихле для уравнений Пуассона.
Лемма Теорема о следах Обобщенное решение краевой задачи Дирихле для уравнений Пуассона Теорема о разрешимости Вариационная постановка краевой задачи Дирихле

Лекция 6. Собственные функции и собственные значения оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле. Метод монотонности.
Обобщенные собственные функции оператора Лапласа Теорема о линейном ограниченном операторе Метод Ритца Уравнения Эйлера - Лагранжа

Лекция 7. Нуль-лагранжиан. Теорема Брауэра.
Повторение Нуль-лагранжиан Лемма о строках с нулевой дивергенцией Теорема (важный пример нуль-лагранжиана) Теорема Брауэра Следствие (лемма о нулях векторного поля)

Лекция 8. Метод монотонности.
Обобщенное решение нелинейной эллиптической задачи Теорема (метод монотонности) Теорема (единственность обобщенного решения) Метод монотонности в абстрактной форме

Лекция 9. Нелинейные уравнения в частных производных 1 порядка.
Прием Минди (продолжение) порядка порядка Допустимые и нехарактеристичные начальные данные для конкретной задачи Локальная теорема существования решения Примеры

Лекция 10. Задача Коши для скалярного закона сохранения. Условие Рэнкина - Гюгонио. Условие допустимости.
Задача Коши для скалярного закона сохранения Теорема (условие Рэнкина — Гюгонио) Ударная волна Геометрическая интерпретация условия Рэнкина — Гюгонио Ответы на вопросы Пример (отсутствие единственности) Условие допустимости Геометрическая интерпретация условия допустимости Теорема (l1-сжимаемость)

Лекция 11. Теорема о l1-сжимаемости. Энтропийные решения.
Повторение Теорема о l1-сжимаемости (доказательство) Энтропийные решения

Лекция 12. Регуляризация вязкостью. Условие Введенской - Олейник.
Повторение Утверждение о невозрастании E(t) Энтропия Случай невыпуклой функции потока (регуляризация вязкостью) Условие Введенской — Олейник

Лекция 13. Введение в теорию усреднения.
Неформальная постановка задачи Геометрия области Обобщенное решение задачи Продолжение функций с заданными свойствами Теорема о продолжении гладких функций Теорема (продолжение для ячейки периодичности)

Лекция 14. Введение в теорию усреднения (продолжение).
Повторение Теорема о продолжении на ячейку Следствие Существование предельной функции Основная теорема Вспомогательные утверждения

Лекция 15. Основная теорема усреднения.
Обозначения Лемма 2 Постановка задачи (напоминание) Основная теорема усреднения Лемма о вариационном неравенстве Лемма об интеграле по перфорированной части границы