Основная цель курса – познакомить слушателей с основными понятиями и методами эллиптической теории, включая теорию Фредгольма и ряд разделов алгебраической топологии. Развитие этих теорий в XX веке привело к получению знаменитой формулы Атьи-Зингера для индекса эллиптического оператора на гладком замкнутом многообразии. Эта формула не только содержит в себе в качестве частных случае многие формулы анализа, геометрии и топологии, но и имеет многочисленные обобщения и приложения во многих областях математики и физики.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Теория Фредгольма.
Введение Мотивировки из теории дифференциальных уравнений Определение операторов конечного ранга Определение компактных операторов Интегральные операторы Свойства компактных операторов Фредгольмовы операторы Теорема Никольского–Аткинсона

Лекция 2. Индекс эллиптических операторов.
Свойства фредгольмовых операторов Определение индекса фредгольмого оператора Индекс оператора сдвига Теорема о свойствах индекса Доказательство Операторы Тёплица Теорема

Лекция 3. Дифференциальные операторы в пространстве Соболева.
Напоминания из предыдущей лекции Продолжение Теорема об индексе операторов Тёплица Проверка корректности Проверка на образующих Дифференциальные операторы в пространстве Соболева Теорема о следе (упражнение) Теорема о замене переменных Пространство Соболева на гладком многообразии Теорема Соболева о вложении

Лекция 4. Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы.
Дифференциальные операторы Главный символ дифференциального оператора Формула композиции Примеры главных символов оператора Определение эллиптического оператора Замена переменных в операторе Теорема конечности Псевдодифференциальные операторы Квантование Класс символов Примеры символов Теорема об ограниченности Теорема о композиции (Кон-Ниренберг)

Лекция 5. Исчисление псевдодифференциальных операторов.
Напоминания из предыдущей лекции Теорема об ограниченности Лемма об оценке Асимптотическое разложение Вспомогательная теорема Теорема 1 Теорема 2 Теорема 3

Лекция 6. Эллиптические операторы на многообразиях.
Об операторах на многообразии Определение бесконечно сглаживающего оператора Определение псевдодифференциального оператора на многообразии Следствия из исчисления ПДО Символ псевдодифференциального оператора Классические псевдодифференциальные операторы Определение эллиптического псевдодифференциального оператора Теорема о существовании параметрикса Следствия из теоремы о существовании параметрикса

Лекция 7. Свойства эллиптических операторов.
Свойства эллиптических операторов Свойства самосопряжённых эллиптических операторов Примеры эллиптических операторов Оператор Бельтрами-Лапласа на римановом многообразии Оператор Коши-Римана Оператор Дирака Оператор редукции порядка Применение к уравнению теплопроводности Теорема (бесконечно сглаживающий оператор) Теорема (формула Зингера–Маккина)

Лекция 8. Введение в К-теорию. Векторные расслоения.
Вводное слово о К-теории и пример векторного расслоения Определение семейства векторных пространств Примеры семейств векторных пространств Определение сечения для семейства векторных пространств Определение векторного расслоения Формульные примеры векторного расслоения Утверждение о тривиальности расслоения Множество сечений векторного расслоения Операции с векторными расслоениями Локальное описание векторных расслоений

Лекция 9. Векторные расслоения (продолжение).
О классификации векторных расслоений Теорема о классификации векторных расслоений на сфере Пример векторных расслоений над двумерной сферой Вспомогательная лемма Доказательство теоремы Язык проекторов Изоморфизм расслоений на языке проекторов

Лекция 10. K-группы, K-функторы, периодичность Ботта.
Следствия из утверждения о проекторах К-группы Пример Определение К-группы Свойства К-групп  Продолжение примеров K-групп Замечание К-функтор Лемма о точной последовательности Идея построения длинной точной последовательности Теорема (последовательность пары) Теорема (периодичность Ботта)

Лекция 11. К-теория (продолжение).
Периодичность Ботта и сферы К-теория для некомпактных пространств Определение К-группы с компактными носителями Точная последовательность в К-теории с компактными носителями Разностная конструкция Теорема Примеры Изоморфизм Тома в К-теории Комплекс де Рама для линейного пространства Комплекс де Рама для расслоения Вспомогательная лемма Пример

Лекция 12. Характеристические классы векторных расслоений.
Определение характеристического класса векторных расслоений Подход алгебраической топологии к определению характеристических классов (Изоморфизм кольца характеристических классов) (Вычисление когомологий грасманиана) Дифференциально-геометрический подход к определению характеристических классов Определение связности в расслоении Пример Свойства связностей Определение кривизны связности Теорема Примеры характеристических классов Классы Черна Классы Понтрягина Характер Черна Замечание (определение характера Черна для некомпактных пространств)

Лекция 13. Теорема Атьи-Зингера об индексе.
Напоминание из предыдущих лекций Свойства индекса эллиптического оператора Проблема индекса Следствие из проблемы индекса Теорема Теорема Атьи-Зингера (в К-теории) Когомологическая формула индекса Следствия из теоремы Атьи-Зингера Эллиптические комплексы Индекс для эллиптического комплекса

Лекция 14. Теорема Атьи-Зингера об индексе. Примеры операторов.
Оператор Эйлера Лемма о характере Черна оператора Эйлера Оператор сигнатуры Формула Хирцебруха Скрученные операторы Комплекс Дольбо и оператор Тодда Теорема Римана-Роха-Хирцебруха Оператор Дирака Индекс оператора Дирака