Спецкурс для студентов 1–6 курсов

Список всех тем лекций

Лекция 1. Теория Люстерника-Шнирельмана. Часть 1.
Теорема Морса (повторение материала, изученного в предыдущем семестре) Точки бифуркации Примеры точек бифуркации Связь топологии многообразий со свойствами функций на этом многообразии Категория Люстерника — Шнирельмана Теорема Люстерника — Шнирельмана

Лекция 2. Теория Люстерника-Шнирельмана. Часть 2.
Теорема Люстерника — Шнирельмана (продолжение доказательства) Аналогия Теорема Люстерника — Шнирельмана (продолжение доказательства)

Лекция 3. Теория Люстерника-Шнирельмана. Часть 3.
Теорема Люстерника — Шнирельмана (продолжение доказательства) Примеры вычисления категорий Методы подсчёта категорий Расслоение Хопфа

Лекция 4. Линейная симплектическая геометрия и симплектические группы преобразований.
Линейное симплектическое пространство (определение, примеры) Изотропность Группы инвариантности симплектических пространств Некомпактная симплектическая группа Компактная симплектическая группа Пространство кватернионов Связь симплектической группы с группой ортогональных преобразований (теорема) Теорема (о группе ортогональных преобразований)

Лекция 5. Симплектические многообразия. Локально гамильтоновы векторные поля. Глобально гамильтоновы векторные поля.
Симплектические многообразия Теорема Дарбу Градиент гладкой функции Гамильтоново поле Риманова метрика и симплектическая форма на многообразии Примеры симплектических многообразий Теорема (о кокасательном расслоении на симплектическом многообразии) Топология кокасательного расслоения Глобально гамильтоновы векторные поля

Лекция 6. Локально гамильтоновы векторные поля. Скобка Пуассона. Приложения.
Локально гамильтоновы векторные поля Локально гамильтоновы векторные поля на двумерном многообразии Примеры локально гамильтоновых полей, связанных с аналитическими функциями одного комплексного переменного Скобка Пуассона на симплектических многообразиях Теорема (связь векторных полей на многообразии с гамильтоновыми полями)

Лекция 7. Свойства скобки Пуассона. Лагранжевы подмногообразия. Теорема Лиувилля.
Свойства скобки Пуассона Свойства интегралов гамильтоновых векторных полей (теорема) Теорема Лиувилля

Лекция 8. Теорема Лиувилля. Теорема Дарбу.
Теорема Лиувилля (продолжение доказательства) Комментарии к теореме Лиувилля

Лекция 9. Симплектические многообразия. Гамильтоновы системы.
Повторение пройденного материала Теорема Дарбу Важные примеры гамильтоновых векторных полей Уравнение Эйлера-Пуассона для движения тяжёлого твёрдого тела в трёхмерном пространстве

Лекция 10. Важные примеры гамильтоновых систем из физики, механики, геометрии. Часть 1.
Уравнение Эйлера-Пуассона для движения тяжёлого твёрдого тела в трёхмерном пространстве (продолжение) Случай Лагранжа

Лекция 11. Важные примеры гамильтоновых систем из физики, механики, геометрии. Часть 2.
Ковалевской Интегрируемые бильярды Эллиптические и гиперболические бильярды Теорема Якоби-Шаля Теорема (об эллиптических бильярдах) Теорема (закон сохранения) Классы интегрируемых бильярдов