Обязательный курс дифференциальной геометрии и топологии для студентов-математиков 3 курса механико-математического факультета МГУ. В порядке эксперимента некоторые разделы излагались более расширенно, чем в традиционном курсе (векторные расслоения и связности в них).

Список всех тем лекций

Лекция 1. Гладкие регулярные кривые и поверхности в R^n, заданные параметрически или неявно.
Вступительное слово к курсу Векторные аффинные пространства Криволинейные системы координат Функции в геометрии Регулярные гладкие k-мерные поверхности Теорема о неявной функции Регулярная гладкая k-мерная неявно заданная поверхность

Лекция 2. Гладкие многообразия, гладкие функции.
Гладкие функции Теорема об обратной функции Замена координат Гладкие многообразия Гладкие функции Гладкие отображения Проективные пространства

Лекция 3. Касательные векторы, производная вдоль вектора.
Векторы в аффинном пространстве Производная вдоль вектора Дифференцирование в точке Теорема (о дифференцировании) Взаимно однозначное соответствие между векторами и дифференцированием Гладкие регулярные поверхности в аффинном пространстве

Лекция 4. Векторные поля, коммутатор векторных полей.
Касательные векторы Гладкие регулярные поверхности в аффинном пространстве Дифференцирование Утверждение (о производной вдоль касательных векторов) Определение касательных векторов двумя способами Векторные поля Лемма Коммутатор

Лекция 5. Дифференциальные формы.
Повторение материала прошлой лекции Утверждение (о линейном операторе) Матрица линейного оператора Частный случай Кокасательное пространство Дуальный базис Ковекторы и ковекторные поля Дифференциальная 1-форма Гладкие дифференциальные формы Полилинейные кососимметрические функции Внешнее произведение

Лекция 6. Дифференциальные формы. Алгебраические операции с дифференциальными формами.
Повторение изученного материала Векторное пространство полилинейных кососимметричных функций Свойства Двойственный базис Контракция Свойства контракции Дифференциальные формы Гладкая дифференциальная k-форма Алгебраические операции с дифференциальными формами

Лекция 7. Дифференциальные формы. Неалгебраические операции с дифференциальными формами.
Алгебраические операции с дифференциальными формами Неалгебраические операции с дифференциальными формами Обратный образ при отображении F Свойства форм Дифференцирование градуированной алгебры дифференциальных форм

Лекция 8. Дифференциальные формы. Интегрирование дифференциальных форм.
Запись обратного образа формы Утверждение (о производной Ли) Тождество цепной гомотопии Картана Утверждение (вычисление производной Ли) Тождество (вычисление дифференциала от формы без использования координат) Интегрирование форм

Лекция 9. Ориентация. Теорема Стокса.
Ориентация векторного пространства Гладкие регулярные поверхности Пример (кривая в пространстве) Пример (двумерная поверхность в R^3) Многообразия Ориентированный атлас Как определить интеграл Теорема Стокса

Лекция 10. Теорема Стокса. Разбиение единицы.
Теорема Стокса Разбиение единицы

Лекция 11. Римановы многообразия. Тензоры.
Риманова метрика Риманово многообразие Замена координат Форма объёма Римановы многообразия Тензоры Тензорное произведение Преобразования координат при замене базиса Свёртка Опускание и поднимание индекса

Лекция 12. Производная Ли тензорных полей. Подмногообразия.
Операции с тензорами Производная Ли тензорного поля Касательное расслоение Подмногообразие

Лекция 13. Подмногообразия. Связности на многообразиях.
Подмногообразие Теорема о пропускании отображения через подмногообразие Дифференцирование Свойства ковариантной производной Связность на многообразии Симметрическая связность Теорема Леви-Чивиты Ковариантная производная Традиционная форма записи ковариантной производной

Лекция 14. Связности. Параллельный перенос.
Ковариантная производная (повторение материала предыдущей лекции) Теорема Леви-Чивиты Параллельный перенос

Лекция 15. Геодезические.
Геодезические (случай двумерной поверхности в R^3) Случай риманова многообразия Аффинный натуральный параметр Параллельный перенос вектора Важное свойство геодезических Экспоненциальное отображение в точке А Теорема о гладкой зависимости решения задачи Коши от начальных данных Геодезические координаты Примеры Три свойства прямых в евклидовой геометрии Теорема Уайтхеда о нормальной окрестности

Лекция 16. Геодезические. Тензор кривизны Римана.
Полугеодезические координаты (определение и примеры) Способ построения полугеодезических координат Тензор Римана Геометрический смысл тензора Римана Теорема о симметриях тензора Римана Секционная кривизна

Лекция 17. Когомологии де Рама.
Утверждение о замкнутости точной формы Свойства Лемма Пуанкаре Язык точных последовательностей