Список всех тем лекций

Лекция 1. Геометрия кривых. Плоские кривые.
Вводное слово о курсе Способы задания плоской кривой Определение плоской кривой Натуральная параметризация Два вспомогательных утверждения Касание k-ого порядка Теорема о соприкасающейся окружности Плоские формулы Френе

Лекция 2. Геометрия кривых. Кривые в пространстве.
Теорема о восстановлении плоской кривой по функции кривизны Определение кривой в пространстве Напоминание из линейной алгебры Многомерные формулы Френе

Лекция 3. Поверхности в евклидовом пространстве.
Теорема о восстановление пространственной кривой по функциям кривизны Определение поверхности Касательный вектор Канонический базис Первая фундаментальная форма поверхности

Лекция 4. Геометрия поверхности. Геодезические.
Первая фундаментальная форма поверхности Длина кривой на поверхности Угол между кривыми Дифференциал гладкого отображения поверхностей Изометрия поверхностей Свойства изометрий Необходимое и достаточное условие для изометрии между поверхностями Скалярное произведение Проверка отображения на изометричность Локальная изометричность Аналог прямых на поверхности Геодезические Гладкое векторное поле Ковариантная производная

Лекция 5. Ковариантная производная.
Ковариантная производная и ее свойства Символы Кристоффеля Параллельный перенос касательных векторов

Лекция 6. Геодезические.
Свойства параллельного переноса вектора вдоль кривой Группа голономии Свойства параллельного переноса вектора вдоль кривой Геодезические на поверхностях Уравнения геодезических Свойства геодезических Экспоненциальное отображение и его свойства Вспомогательное утверждение

Лекция 7. Геодезические (продолжение).
Напоминание из предыдущей лекции Лемма Гаусса Оценка длины кривой Геодезические как локально кратчайшие Утверждение о существовании нормальных окрестностей (без доказательства) Примеры соединения двух точек геодезической Метрические пространства Расстояние между точками на поверхности Теорема Хопфа - Ринова

Лекция 8. Теорема Хопфа-Ринова. Тензоры.
Теорема Хопфа – Ринова Искривление поверхности Тензоры (напоминание) Гладкое тензорное поле на поверхности

Лекция 9. Искривление поверхности.
Гладкие тензорные поля на поверхностях Два способа представления тензорных полей Геометрический смысл искривления поверхности Коммутатор векторных полей Свойства коммутатора векторных полей Оператор кривизны (оператор Римана) Тензор Римана

Лекция 10. Тензор Римана.
Симметрии тензора Римана Симметрии тензора Римана в координатах Число независимых компонент тензора Римана Зависимость плоскости поверхности от тензора Римана Тензор Риччи и скалярная кривизна Вводное слово о гладких многообразиях Топологическое пространство Определение топологического многообразия

Лекция 11. Гладкое многообразие.
Карты на топологическом многообразии, функция склейки Гладкий атлас, эквивалентность атласов Гладкая структура на многообразии, гладкое многообразие Гладкие функции на многообразии Гладкие отображения многообразий Касательные векторы и касательное пространство на гладком многообразии Гладкие кривые на многообразии Касательный вектор Касательное пространство

Лекция 12. Вложение гладкого многообразия в евклидово пространство.
Отличие поверхностей от многообразий Отображение касательных пространств Дифференциал отображения Погружение многообразий Вложение многообразий Вложение многообразия в евклидово пространство Срезающие функции Теорема о вложении гладкого многообразия в евклидово пространство Вложение риманова многообразия в евклидово пространство

Лекция 13. Векторное расслоение. Геометрия гладких многообразий.
Касательное расслоение Векторное расслоение Примеры векторных расслоений Геометрия гладкого многообразия Гладкие векторные поля и гладкие тензорные поля на многообразиях Риманова метрика на гладком многообразии, риманово многообразие Аффинная связность

Лекция 14. Аффинная связность.
Аффинная связность на многообразии Преобразование символов Кристоффеля при замене координат Операции, определяемые с помощью аффинной связности Параллельный перенос вдоль кривой Геодезические Ковариантные производные произвольных тензорных полей Свойства связности

Лекция 15. Риманова связность.
Кручение векторных полей Зависимость аффинной связности от кручения Связь между ковариантным дифференцированием и римановой метрикой Риманова связность Многообразия с римановой связностью Линейные связности в векторных расслоениях

Лекция 16. Внешняя геометрия подмногообразий. Часть 1.
Векторное расслоение Гладкое семейство вектор слоев над кривой и его ковариантная производная Параллельный перенос гладких семейств Оператор кривизны на векторном расслоении Евклидово векторное расслоение Внешняя геометрия подмногообразий

Лекция 17. Внешняя геометрия подмногообразий. Часть 2.
Вторая квадратичная форма, оператор Вейнгартена и деривационные формулы Гаусса – Вейнгартена Симметричность второй квадратичной формы Геометрический смысл второй квадратичной формы Нормальное сечение подмногообразия Геометрический смысл второй квадратичной формы

Лекция 18. Вторая квадратичная форма.
Первый и второй дифференциалы функции в точке на многообразии Отклонение точки от касательной плоскости Матрицы первой и второй квадратичных форм Формула Эйлера Гауссова и средняя кривизны многообразия Координатные формулы

Лекция 19. Координатные формулы.
Координатные формулы Риманово искривление Свойства уравнения Гаусса Уравнения Петерсона-Майнарди-Кодацци в координатах

Лекция 20. Восстановление поверхности по первой и второй квадратичным формам. Часть 1.
Напоминание из предыдущей лекции Уравнение Риччи Задание риманова многообразия по второй квадратичной форме и связности нормального расслоения Случай гиперповерхности Две гиперповерхности с одинаковой второй квадратичной формой Построение поверхности по заданным первой и второй квадратичным формам, связанных соотношениями

Лекция 21. Восстановление поверхности по первой и второй квадратичным формам. Часть 2.
Существование и единственность решения задачи Построение гиперповерхности по заданным первой и второй квадратичным формам, удовлетворяющим уравнениям Гаусса и Петерсона-Майнарди-Кодацци Случай поверхности коразмерности больше 1