Семинары по второй части курса дифференциальной геометрии, читающегося на отделении механики механико-математического факультета в 4 семестре (первая часть - "Классическая дифференциальная геометрия"). Основное содержание курса - тензорный анализ на многообразиях (отсюда и название данного курса - обычно вторая часть курса дифференциальной геометрии называется "Дифференциальная геометрия и топология")

Список всех тем лекций

Семинар 1. Тензоры. Простейшие операции с тензорами.
Основные понятия Задача на вычисление компонентов тензора Задача на нахождение ковекторного поля Задача на нахождение компонентов тензора Некоторые свойства тензоров

Семинар 2. Тензорные операции.
Основные понятия  Задача на нахождение компоненты тензора Перестановка индексов одного типа Задача на разложение по каноническому базису Симметричный и кососимметричный тензоры Задача на нахождение компонентов кососимметрического тензора Задача на нахождение тензорного произведения Опускание и поднятие индекса

Семинар 3. Тензорные операции: свертка и поднятие индекса.
Свертка Задача на свертку тензора Опускание и поднятие индексов Задача на опускание и поднятие индексов у тензора Изоморфизм при поднятии и опускании индексов Формула для градиента в сферических координатах Пространство симметричных и кососимметричных тензоров Задача на симметричные и кососимметричные тензоры

Семинар 4. Дифференциальные формы.
Дифференциальные формы Задачи на дифференциальные формы Звезда Ходжа Вычисление звезды Ходжа в различных метриках Внешний дифференциал

Семинар 5. Дифференциальные формы: операция переноса.
Операция переноса Некоторые важные свойства f* Интегрирование форм Формула Стокса Замкнутая неточная форма Формула Остроградского-Гаусса

Семинар 6. Когомологии де Рама.
Когомологии де Рама Гомотопическая эквивалентность Примеры отображений Примеры гомотопической эквивалентности пространства Лемма Пуанкаре Первые когомологии

Семинар 7. Ковариантное дифференцирование.
Ковариантное дифференцирование Евклидова связность Симметричные связности Риманова связность Сфера

Семинар 8. Параллельный перенос.
Параллельный перенос тензорных полей Примеры в известных метриках Уравнение параллельного переноса Утверждение о параллельном переносе в римановой связности Геодезическая

Семинар 9. Геодезические в аффинной связности.
Геодезические в аффинной связности Нормальные координаты Свойства нормальных координат Задача про геодезические Тензор кривизны и тензор Римана Лемма о тождестве Якоби Соображения размерности Свертки тензора Римана

Семинар 10. Свертки тензора Римана и тензора кривизны.
Свертки тензора Римана и тензора кривизны Тензор Риччи Задача на вычисление тензора кривизны