Курс лекций "Обыкновенные дифференциальные уравнения", читаемый на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова на 2 курсе в соответствии с программой по специальности "Прикладная математика и информатика"

Список всех тем лекций

Лекция 1. Основные понятия, примеры математических моделей.
Вступительное слово Основные понятия Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка Система обыкновенных дифференциальных уравнений Геометрическая интерпретация Пример (уравнение радиоактивного распада) Пример (движение материальной точки) Пример (модель популяции) Пример (модель динамики популяции (хищник-жертва))

Лекция 2. ОДУ 1-го порядка, разрешённое относительно производной.
порядка, разрешённое относительно производной, относительно неизвестной функции y(t) Пример (произвольные постоянные) Пример (произвольные постоянные) порядка в симметричном виде (или в дифференциалах) Общий интеграл Уравнение в полных дифференциалах Примеры (уравнения в полных дифференциалах)

Лекция 3. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Единственность решения.
Постановка задачи Решение задачи Коши   Условие Липшица Лемма Гронуолла - Беллмана Теорема единственности Пример (задача Коши, нарушено условие Липшица)

Лекция 4. Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование решения.
Постановка задачи Теорема существования Пример (почему существование решения рассматривается на маленьком отрезке)

Лекция 5. ОДУ первого порядка, неразрешённое относительно производной.
Дополнительные условия, при которых уравнение имеет единственное решение Определение решения уравнения Пример (исследование уравнения) Пример (с конкретными значениями) Теорема существования и единственности Особые решения уравнения первого порядка Пример (случай, когда нет особых решений)

Лекция 6. Задача Коши для нормальной системы ОДУ.
Постановка задачи Решение задачи Коши (определение) Условие Липшица Теорема единственности решения задачи Коши Теорема существования решения задачи Коши

Лекция 7. Существование и единственность решения некоторых задач Коши.
Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-ого порядка, разрешённого относительно старшей производной Теорема единственности решения Доказательство существования решения Задача Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-ого порядка Задача Коши для линейного обыкновенного уравнения n-ого порядка

Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка Условия, при которых рассматривается уравнение Решение уравнения (определение) Теорема о решении уравнения Редукция задачи Коши Линейная зависимость и независимость системы функций Определитель Вронского Линейная зависимость и независимость линейного однородного уравнения Фундаментальная система решений однородного уравнения (определение) Теорема о существовании фундаментальной системы решений

Лекция 9. Общее решение линейного дифференциального уравнения n-ого порядка.
Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка Общее решение (определение) Фундаментальная система решений однородного уравнения (определение) Теорема об общем решении Следствие из теоремы Пример Линейное неоднородное дифференциальное уравнение Общее решение (определение) Теорема об общем решении Метод вариации постоянных

Лекция 10. Построение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
Постановка задачи Теорема единственности решения Теорема существования решения Задача (построить обыкновенное дифференциальное уравнение по заданным функциям)

Лекция 11. Линейные системы ОДУ.
Постановка задачи Теорема о решении системы Однородное матричное дифференциальное уравнение Теорема о решении однородной системы Теорема о решении неоднородной системы Линейная зависимость и независимость вектор-функций Примеры Определитель Вронского Теорема (о свойстве определителя Вронского) Теорема об альтернативе

Лекция 12. Общее решение линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка задачи Фундаментальная система решений линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка (определение) Теорема о существовании фундаментальной системы решений Общее решение линейной однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка (определение) Теорема об общем решении Описание общего решения линейной неоднородной системы Задача Коши для однородной системы Метод вариации постоянных Задача Коши для неоднородной системы уравнений Пример (нахождение общего решения неоднородной системы)

Лекция 13. Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Примеры Комплексные числа, комплекснозначные функции Фундаментальное решение уравнения Лемма Теорема о решениях уравнения Теорема о построении фундаментальной системы решений Задача (построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами наименьшего порядка)

Лекция 14. Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Комплекснозначные решения системы (существует базис из собственных векторов матрицы А) (нет базиса из собственных векторов)

Лекция 15. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от исходных данных и параметра.
Задача Коши для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной Определение решения задачи Теорема (о непрерывной зависимости решения задачи Коши от исходных данных и параметра) Теорема сходимости Теорема сравнения Случай, когда задача Коши зависит от параметра Теорема (о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметра)

Лекция 16. Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру.
Дифференцируемость решения задачи Коши по параметру Пример (найти решением какой задачи Коши является функция) Метод малого параметра Пример (метод малого параметра)