Курс "Дифференциальные уравнения. Часть 2" читается студентам второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова в 4 семестре. 

Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения»является формирование системы знаний, включающих методы анализа и решения основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, систем дифференциальных уравнений; развитие представлений о дифференциальных уравнениях как аппарате математического моделирования детерминированных природных процессов.

Дисциплина опирается на результаты обучения, формированные в рамках курсов «Математический анализ», «Алгебра», «Геометрия», имеющиеся у студентов представления о естественнонаучной картине мира.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с произвольной правой частью.
Теорема о структуре решения линейного однородного дифференциального уравнения Теорема о структуре решения линейного неоднородного дифференциального уравнения Метод вариации произвольных постоянных Системы дифференциальных уравнений Нормальные системы Задача Коши Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 2. Линейные системы дифференциальных уравнений.
Теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости решения системы Формула Лиувилля-Остроградского для систем Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы Теорема о структуре общего решения линейной неоднородной системы Теорема о свойствах фундаментальной системы решений

Лекция 3. Линейные системы с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные системы Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами (Метода Эйлера) Метод решения систем при помощи Жордановой формы матрицы А

Лекция 4. Неоднородные линейные системы с правой частью особого вида.
Теорема о виде решения системы с постоянными коэффициентами (обоснование метода Эйлера) Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами и правой частью особого вида

Лекция 5. Решение неоднородных линейных систем с произвольной правой частью.
Метод вариации произвольной постоянной Экспонента матрицы Аналог теоремы Вейерштрасса для рядов матриц Теорема о решении матричного уравнения с начальным условием Метод нахождения экспоненты матрицы

Лекция 6. Колебательный характер решений уравнений (ч. 1).
Экспонента Жордановой клетки Логарифм матрицы Системы с периодическими коэффициентами Теорема Флоке-Ляпунова Колебательный характер решений уравнения

Лекция 7. Колебательный характер решений уравнений (ч. 2).
Теорема Штурма Теорема сравнений Теорема Кнезера

Лекция 8. Устойчивость.
Устойчивость уравнения первого порядка Асимптотическая устойчивость уравнения Устойчивость систем Асимптотическая устойчивость систем

Лекция 9. Устойчивость по первому приближению.
Устойчивость решений линейных автономных систем Теорема о достаточном условии устойчивости нулевого решения Устойчивость по первому приближению Исследование отрицательности действительных частей корней характеристического уравнения матрицы А Фазовый портрет автономной системы на плоскости

Лекция 10. Классификация особых точек фазовой плоскости.
Фазовый портрет автономной системы на плоскости Узел Седло Дикритический узел Узел Фокус Центр Вырожденные случаи, определитель равен нулю Исследование фазового портрета нелинейных систем на плоскости

Лекция 11. Предельные циклы на плоскости.
Области устойчивости нулевого решения линейной системы на плоскости Предельные циклы на плоскости "Распознавание" предельного цикла, принцип кольца

Лекция 12. Исследование устойчивости при помощи функции Ляпунова.
Уравнение Ньютона Уравнение колебаний математического маятника Исследование устойчивости при помощи функции Ляпунова Теорема Ляпунова об устойчивости Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости Теорема Четаева о неустойчивости

Лекция 13. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости Теорема Четаева о неустойчивости

Лекция 14. Производная решения по параметру.
Производная решения по параметру Непрерывность решения по параметру

Лекция 15. Уравнения в частных производных первого порядка.
Непрерывность решения по параметру Теорема о дифференцировании решения по начальным параметрам Уравнения в частных производных первого порядка

Лекция 16. Уравнения в частных производных.
Линейные уравнения в частных производных Общее решение квазилинейного уравнения Постановка задачи Коши