Семинары по курсу действительного анализа. Данный курс традиционно читается в 4 семестре для отделения математики механико-математического факультета, являясь связующим звеном между курсами математического анализа и функционального анализа.

Список всех тем лекций

Семинар 1. Мощность множеств.
Задачник Мощность множеств (дизъюнктивное объединение не более чем счётных множеств не более чем счётно) (о мощности дизъюнктивного объединения множеств) Задача 3 (ещё одно описание множеств мощности континуум) (о мощности множества) (о мощности множества, с использованием теоремы Кантора-Бернштейна) (о мощности дизъюнктного объединения множеств) (о мощности множества) (доказать, что на плоскости может быть максимум счётное множество непересекающихся букв "А")

Семинар 2. Метрическое пространство.
из домашнего задания из домашнего задания Пространство R^n, метрическое пространство, линейное нормированное пространство (замыкание открытого шара и замкнутый шар) (о вложенных шарах) Полное метрическое пространство Теорема о вложенных шарах Всюду плотное множество, нигде не плотное множество Множество типа G-дельта, множество типа F-сигма (о множестве типа F-сигма)

Семинар 3. Метрическое пространство (продолжение).
из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания Расстояние от точки до множества в метрическом пространстве Пространство l1 Расстояние между множествами в метрическом пространстве (о расстоянии между множествами) Задача 2 Задача 3 Функции на метрических пространствах (о колебании функции в точке) (о полном метрическом пространстве) Теорема Бэра

Семинар 4. Системы множеств (полукольцо, кольцо).
из домашнего задания из домашнего задания (о множестве типа G-дельта) Полукольцо множеств Кольцо множеств Лемма о полукольце

Семинар 5. Меры на системах множеств.
из домашнего задания из домашнего задания Верхний и нижний пределы последовательности множеств Меры на системах множеств Мера на полукольце Внешняя мера Лебега, внешняя мера Жордана

Семинар 6. Мера Лебега.
из домашнего задания из домашнего задания Не измеримое по Лебегу множество Непрерывность меры Множества канторовского типа Закон нуля или единицы

Семинар 7. Измеримые функции.
из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания Измеримость канторовского множества по Жордану Альтернативное описание измеримых по Лебегу множеств Измеримые функции Свойства измеримых функций Измеримость верхней грани, предела последовательности измеримых функций

Семинар 8. Сходимость по мере.
из домашнего задания из домашнего задания Кривая Кантора Сходимость по мере Сходимость почти всюду Пример Рисса

Семинар 9. Сходимость по мере, интеграл Лебега.
из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания Теорема Рисса Теорема Лузина Интеграл Лебега

Семинар 10. Интегрируемость функции по Лебегу.
Задача из домашнего задания Теорема Лузина Критерий интегрируемости функции по Лебегу Теорема Беппо Леви о предельном переходе Теорема Фату

Семинар 11. Интеграл Лебега, сходимость по метрике.
из домашнего задания из домашнего задания Теорема Лебега (о предельном переходе) Линейность интеграла по множеству Неравенство Чебышева Сходимость по метрике

Семинар 12. Пространство Lp.
из домашнего задания из домашнего задания из домашнего задания Пространство Lp Неравенство Гёльдера Задача (о пространстве Lp) Пространство L∞

Семинар 13. Сходимости в Lp, прямое произведение мер.
из домашнего задания из домашнего задания Пространство L∞ Сходимости в Lp Задача (норма функции в Lp) Прямое произведение мер Теорема Фубини

Семинар 14. Функции ограниченной вариации.
из домашнего задания из домашнего задания Теорема Тонелли Задача (теорема Тонелли) Функции ограниченной вариации Признаки функций ограниченной вариации

Семинар 15. Абсолютно непрерывные функции.
из домашнего задания (функции ограниченной вариации) Абсолютно непрерывные функции на отрезке Свойства абсолютно непрерывных функций Теорема Банаха-Зарецкого Задача (функция из класса Липшица-1) Теоремы об абсолютно непрерывных функциях Задача (точки плотности измеримого множества)