Базовый курс теории функций комплексного переменного, читаемый студентам механико-математического факультета МГУ на третьем курсе

Список всех тем лекций

Лекция 1. Аналитическое продолжение.
Определение Пример 1 (теорема Римана об устранимой особой точке) Пример 3 Голоморфная зависимость интеграла от параметра Гамма-функция Эйлера Формула дополнения Г(z)Г(1-z)= π/sin(πz)

Лекция 2. Дзета-функция Римана.
Дзета-функция Римана Аналитическое продолжение дзета-функции Римана Упражнение Гипотеза Римана Формула Эйлера Определение и свойства непосредственного аналитического продолжения (НАП) элементов

Лекция 3. Аналитическое продолжение элементов. Полная аналитическая функция.
Аналитическое продолжение элементов (АП) Определение полной аналитической функции (ПАФ) Понятие аналитического продолжения вдоль пути Понятие аналитической функции (АФ) в области Примеры Аналитическая функция с числом листов 1 Примеры аналитической функции sqr(z) и ln(z)

Лекция 4. Аналитические функции.
Пример аналитической функции (АФ) с любым числом листов Аналитические функции с точки зрения числа листов Действия над АФ Теорема о продолжении вдоль гомотопных путей Теорема Пуанкаре-Вольтерра

Лекция 5. Теорема о монодромии.
Теорема о монодромии Лемма о корнях и логарифмах Классификация изолированных особых точек АФ Описание особых точек функции W=F(z)=sqrt(1(+sqrt(2))

Лекция 6. Точки ветвления.
Эквивалентное определение точки ветвления Лемма о фундаментальной группе проколотого круга Эквивалентное описание классификации фиксации изолированной точки АФ Ряды Пюизо Определение алгебраической точки ветвления

Лекция 7. Теоремы об алгебраических функциях.
Теоремы об алгебраических функциях Изолированные точки алгебраической функции Следствие из принципа изолированности нулей P(z,w) - неприводимый полином с комплексными переменными

Лекция 8. Аналитическое продолжение элементов.
Доказательство теоремы 2 Лемма Задача Лемма о стирании отрезка Принцип симметрии

Лекция 9. Теорема Каратеодори.
Исправление к задаче Принцип соответствия границ Теорема Каратеодори Замечание Доказательство теоремы АФ на плоскости из двух точек со значениями в единичном круге Малая теорема Пикара

Лекция 10. Формула Кристоффеля-Шварца.
Дополнение к построению АФ в единичном круге Замечания к малой теореме Пикара Формула Кристоффеля-Шварца Упражнение

Лекция 11. Эллиптические функции.
Конформное отображение полуплоскости на прямоугольник Утверждение Свойства Эллиптический синус Свойства эллиптического синуса Упражнения Определение и свойства эллиптических функций

Лекция 12. Свойства эллиптических функций.
Свойства эллиптических функций Пример р-функция Вейерштрасса Утверждение Выражение эллиптических функций через р-функцию Упражнения

Лекция 13. Выражение эллиптических функций.
Дифференциальное уравнение для р-функции Упражнение Лорановское разложении p(z) при O Упражнение Другая форма дифференциального уравнения для p(z) Сравнение коэффициентов в (O) Упражнение Алгебраическая теорема сложения для p(z) Упражнение Теорема Вейерштрасса о функциях с алгебраической теоремой сложения

Лекция 14. Асимптотический закон распределения простых чисел.
Введение Функция Чебышева O(x) и переформулировка асимптотического закона распределения простых чисел Лемма 1 Лемма 2 Лемма 3 Лемма Чебышева Преобразование Лапласа и тауберова теорема Лемма 4 Проверка условий леммы 4: аналитическое продолжение преобразования Лапласа модифицированной функции Чебышова Лемма 5 Лемма 6 Лемма 7 Лемма 8