Данный курс читается на механико-математическом факультете МГУ в рамках программы "Фундаментальная математика и математическая физика"

Список всех тем лекций

Семинар 1. Аксиоматика классической механики. Кинематика материальной точки.
(преобразования Галилея) Способы описания кинематики точки Декартово описание Естественный способ описания Способ с помощью криволинейных координат (найти V и W в полярных координатах) (определить траекторию и компоненты ускорения)

Семинар 2. Системы с малым числом степеней свободы. Кинетический момент. Центральное силовое поле.
(построить фазовые кривые систем, потенциальная энергия которых изображена графически) (построить фазовый портрет) (доказать, что все векторные поля лежат на лучах, проходящих через силовой центр, а величина поля зависит только от расстояния точки до центра) Задача 4 (движение в центральном поле) (движение в центральном поле)

Семинар 3. Вариационный принцип. Уравнение Лагранжа. Преобразование Лежандра. Уравнение Гамильтона. Часть 1.
Задача (из домашнего задания) (об экстремалях) Функционал действия Задача 2

Семинар 4. Вариационный принцип. Уравнение Лагранжа. Преобразование Лежандра. Уравнение Гамильтона. Часть 2.
(продолжение решения задачи из семинара 3) Задача (покажем, что экстремум свободной материальной точки-минимум) Задача (получить из принципа наименьшего действия уравнение движения в центральном поле и обобщение на нецентральном в полярных координатах)

Семинар 5. Теорема Лиувилля. Теорема Пуанкаре о возвращении.
Разбор задачи из домашнего задания (гармонический осциллятор) (найти преобразование Лежандра) Задача (вычислить фазовый объем свободной материальной точки в момент времени t ) (обобщение теоремы Лиувилля на неавтономный случай)

Семинар 6. Связи. Конфигурационное пространство. Лагранжевы динамические системы.
(найти конфигурационное пространство треугольника с заданными условиями) по поверхности вращения в трехмерном пространстве) (неавтономная система)

Семинар 7. Теорема Нётер. Принцип Даламбера - Лагранжа.
(найти (если он существует) нётеров интеграл системы с заданным лагранжианом) Задача для самостоятельной проверки

Семинар 8. Колебания. Линеаризация. Нормальные координаты.
(ортогональность собственных векторов) (рассмотреть систему из задачи 1, когда связь слабая) (найти колебания математического маятника) (найти нормальные колебания)

Семинар 9. Движение твердого тела. Силы инерции. Уравнения Эйлера. Углы Эйлера. Случай Лагранжа.
Необходимые определения Теорема Гюйгенса-Штейнера (найти угловую скорость и угловое ускорение диска) (тензор инерции)

Семинар 10. Динамика твердого тела. Силы инерции. Уравнения Эйлера. Углы Эйлера. Случай Лагранжа (продолжение).
(найти движение диска) Задача 2

Семинар 11. Гамильтонова механика. Дифференциальные формы. Внешнее умножение. Внешнее дифференцирование. Формула Стокса.
Примеры (из домашнего задания - описание движения твёрдого тела)

Семинар 12. Дифференциальные формы. Внешнее дифференцирование. Формула Стокса.
Задача 1 Задача 2 Задача 3

Семинар 13. Симплектические многообразия. Гамильтоновы фазовые потоки. Интегральный инвариант.
Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4

Семинар 14. Симплектические многообразия. Гамильтоновы фазовые потоки. Алгебра Ли функций Гамильтона и фазовых потоков. Симплектический атлас.
(найти компоненты скобок Пуассона векторных полей) (доказательство тождества Якоби для скобок Пуассона) Задача 3

Семинар 15. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Канонические преобразования. Метод Гамильтона-Якоби. Производящие функции.
(интегральный инвариант Пуанкаре-Картана) (канонические преобразования)

Семинар 16. Интегрируемые системы. Теорема Арнольда-Лиувилля.
Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5