Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Говорят, что задана категория, если задан класс объектов, которые могут быть множествами (а могут и не быть), и для каждых двух объектов задано множество морфизмов (стрелок) между этими объектами, которые могут являться (а могут и не являться) отображениями, сохраняющими некоторые свойства. Подобная общность позволяет, например, направить стрелки в противоположную сторону и получить категорию, двойственную к исходной. Кроме того, такая общность позволяет изучать сразу несколько категорий одновременно. Примерами категорий являются категория множеств, в которой морфизмы - это все отображения между множествами; категория групп, в которой морфизмы - это гомомоморфизмы групп; категория топологических пространств, в которой морфизмы - это непрерывные отображения. Частично упорядоченное множество - это тоже категория, объектами которой являются его элементы, а от элемента к элементу, большему или равному ему, существует стрелка. Теорию категорию можно считать следующим уровнем абстракции по сравнению с традиционной абстрактной алгеброй. Эта теория находит применение в самых различных областях математики, информатики и теоретической физики. В курсе будут рассматриваться следующие темы: категории, функторы, естественные преобразования, пределы и копределы, сопряжённые функторы, абелевы категории, моноидальные категории, заплетённые и симметрические моноидальные категории, монады и алгебры над ними, 2-категории и бикатегории.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Коуниверсальный квадрат с участием эпиморфизма в абелевой категории. Функторы, точные слева и справа.
Теорема Фрейда — Митчелла (повторение) Утверждение о коуниверсальном квадрате с участием эпиморфизма в абелевой категории Функторы, точные слева и справа Условия, эквивалентные точности функтора слева (теорема) Эквивалентное определение точности функтора (предложение) Сопряженные функторы между аддитивными категориями

Лекция 2. Техника доказательства лемм о диаграммах. Лемма о пяти морфизмах. Лемма о змее.
Члены объектов и соответствующее отношение эквивалентности Критерий точности последовательности Лемма о пяти морфизмах Объекты гомологий Лемма о змее

Лекция 3. Лемма о змее (продолжение). Естественные преобразования сопряженных функторов. Альтернативный взгляд на бифункторы. Сопряжённые функторы, зависящие от параметра.
Лемма о змее (окончание доказательства) Естественные преобразования сопряженных функторов (теорема) Альтернативных подход к понятию бифунктора Сопряженные функторы, зависящие от параметра

Лекция 4. Диагональная естественность. Алгебраические структуры заданной сигнатуры.
Единица и коединица сопряжения, зависящего от параметра Диестественное преобразование Теорема Примеры Алгебраические структуры заданной сигнатуры (универсальная алгебра, алгебраическая система без отношений) Пример Абсолютно свободная алгебраическая структура Тождества в алгебраической структуре Конгруэнция на алгебраической структуре Т-конгруэнция Многообразие алгебраических структур

Лекция 5. Монады и алгебры над ними.

Лекция 6. Универсальное свойство категории Эйленберга – Мура. Монадические функторы. Категория Клейсли.

Лекция 7. Универсальное свойство категории Клейсли. Расширения групп. Расщепляемые коуравнители.

Лекция 8. Критерий Бека монадичности.

Лекция 9. Критерий Бека монадичности (окончание доказательства). Компактные хаусдорфовы пространства.

Лекция 10. Компактные хаусдорфовы пространства (продолжение). Моноидальные категории и моноиды в них.

Лекция 11. Теорема Маклейна о когерентности. Моноидальные функторы.

Лекция 12. Моноидальные естественные преобразования. Замкнутые моноидальные категории. Комоноид. Теорема Маклейна о строгости.

Лекция 13. Заплетенные и симметрические моноидальные категории.

Лекция 14. Моноиды Хопфа. Обогащенные категории. 2-категории.