Список всех тем лекций

Лекция 1. Числовые ряды.
Основные определения Необходимое условие сходимости Утверждение о сходимости измененного ряда Утверждение о группировке членов сходящегося ряда Утверждение сходимости сгруппированного ряда Задача о расстановке скобок Критерий Коши Абсолютная и условная сходимость Ряды с неотрицательными членами и признаки их сходимости Примеры рядов с неотрицательными членами Признак Лейбница Пример знакочередующегося ряда

Лекция 2. Признаки сходимости числовых рядов и бесконечные произведения.
Признак Д'Аламбера сходимости ряда Признак Коши сходимости ряда Бесконечные произведения Необходимое условие сходимости Теорема о переходе от произведения к ряду логарифмов Утверждение о переходе от логарифмического ряда к ряду с подлогарифмическим выражением Теоретические задачи Разложение синуса в произведение (Эйлер)

Лекция 3. Разложение Эйлера и формула Стирлинга.
Доказательство разложения Эйлера Формула Валлиса Разложение косинуса Лемма о существовании предела специальной последовательности Признак Гаусса Примеры применения признака Гаусса Формула Стирлинга Пример применения формулы Стирлинга Теорема Муавра-Лапласа

Лекция 4. Знакопеременные ряды.
Продолжение доказательства теоремы Муавра-Лапласа Ряды, не являющиеся знакопостоянными Преобразования Абеля Следствие из преобразований Абеля Признак Дирихле-Абеля Следствие применения признаков Дирихле и Абеля Перестановки рядов Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда Теорема Коши о перестановке членов абсолютно сходящегося ряда

Лекция 5. Арифметические действия над рядами. Несобственный интеграл.
Арифметические действия над рядами Теорема Коши Теорема Мертенса Пример применения теоремы Мертенса к двум условно сходящимся рядам Теорема Абеля о сходимости произведения рядов Определение и примеры Утверждение о совпадении интегралов Римана и несобственного Свойства несобственного интеграла

Лекция 6. Свойства несобственного интеграла.
Повторение прошлой лекции Свойства несобственного интеграла Сходимость несобственного интеграла Интегральный признак сходимости ряда Формула Эйлера Пример применения формулы Эйлера Критерий Коши Утверждение об одновременной сходимости интеграла функции и интеграла модуля функции

Лекция 7. Функции Эйлера.
Сходимость интеграла от произведения функций Интегрирование по частям и следствие из него Признаки Абеля-Дирихле Функции Эйлера Свойства бета-функции Свойства гамма-функции

Лекция 8. Интеграл Пуассона и метод перевала.
Продолжение доказательства прошлой лекции Свойства гамма-функции Интеграл Пуассона Связь гамма- и бета-функции Метод перевала Утверждение о сходимости интеграла Лапласа в специальных условиях

Лекция 9. Принцип локализации.
Напоминание прошлой лекции Принцип локализации Утверждение Пример применение утверждения к гамма-функции

Лекция 10. Равномерная сходимость несобственных интегралов.
Введение Определение поточечной и равномерной сходимости Утверждение о единственности предела Утверждение о сумме и произведении двух равномерно сходящихся функций Критерий Коши равномерной сходимости Определение и свойства компакта Определение и свойства эпсилон-сети 

Лекция 11. Критерий компактности Хаусдорфа.
Напоминание прошлой лекции Обобщение теоремы Больцано Определение вполне ограниченности Критерий компактности Хаусдорфа Следствие из критерия Хаусдорфа Критерий компактности в пространстве ограниченных функций Формулировка теоремы Арцела-Асколи

Лекция 12. Теорема Арцела-Асколи и теорема Шаудера.
Доказательство теоремы Арцела-Асколи Пример применения теоремы Арцела-Асколи Формулировка теоремы Шаудера и доказательство для одномерного случая Теорема о перестановке пределов Следствия из теоремы Теорема о предельном переходе под знаком интеграла Формулировка теоремы Арцела

Лекция 13. Теорема Арцела.
Повторение прошлой лекции Доказательство теоремы Арцела Теорема о равномерной сходимости последовательности производных функций Определение равномерной сходимости рядов Условие и критерий Коши равномерной сходимости рядов Признак Вейерштрасса равномерной сходимости

Лекция 14. Признак Дини.
Повторение прошлой лекции Признак Дини Исследование равномерной сходимости рядов произведения функций Преобразования Абеля Признак Абеля-Дирихле равномерной сходимости Примеры применения признаков Абеля и Дирихле

Лекция 15. Степенные ряды.
Основные определения  Определение и теорема о комплексном дифференцировании Примеры дифференцирования комплексных функций Теорема Коши-Адамара Примеры применения теоремы Первая теорема Абеля Вторая теорема Абеля Дифференцирование степенного ряда Интегрирование степенного ряда

Лекция 16. Свойства степенных рядов.
Повторение прошлой лекции Доказательство теоремы об интегрируемости степенного ряда Степенной ряд - ряд Тейлора своей суммы Теорема о равенстве коэффициентов степенного ряда Примеры степенных рядов

Лекция 17. Методы суммирования Чезаро и Пуассона-Абеля.
Суммирование расходящихся рядов Суммирование Пуассона-Абеля Определение регулярности Доказательство линейности и регулярности метода Пуассона-Абеля Суммирование по Чезаро и доказательство регулярности и линейности Теорема Фробениуса Пример ряда, не суммируемого по Пуассону-Абелю 

Лекция 18. Производящие функции.
Производящие функции и операции над ними Примеры производящих функций Утверждение о линейных рекуррентных соотношений и их примеры Задача о размене монет Числа Каталана Применение чисел Каталана Пути Дика Многочлены Лежандра

Лекция 19. Игра Пенни. Применение производящих функций к решению дифференциальных уравнений.
Игра Пенни Применение производящих функций к решению дифференциальных уравнений Определение синуса через ряды

Лекция 20. Кратные ряды. Равномерная сходимость функций, зависящих от параметра.
Основные определения Теорема о совпадении кратных рядов Теорема Абеля Пример области сходимости Степенной ряд - ряд Тейлора своей суммы Равномерная сходимость функций, зависящих от параметра Критерий Коши равномерной сходимости Свойства равномерно сходящейся функции Примеры применения свойств равномерно сходящейся функции Утверждение о непрерывности функции на прямоугольнике

Лекция 21. Несобственный интеграл, зависящий от параметра.
Напоминание прошлой лекции Определение несобственного интеграла, зависящего от параметра Определение равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Критерий Коши Проверка на равномерную сходимость Признак Вейерштрасса Равномерная сходимость интеграла, зависящего от параметра от произведения функций Интегрирование по частям Признаки Абеля и Дирихле Пример применения признака Абеля

Лекция 22. Интегралы, зависящие от параметра. Теорема о перестановке интегралов.
Определение интеграла, зависящего от параметра Теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра Теорема о дифференцируемости интеграла, зависящего от параметра Теорема о перестановке интегралов Решение неоднородных дифференциальных уравнений Оператор дробного интегрирования Римана-Лиувилля

Лекция 23. Равномерная сходимость и дифференцируемость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Несобственный интеграл, зависящий от параметра Теорема о равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Теорема о равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра (используя теорему Арцела) Утверждение о непрерывности интеграла, зависящего от параметра Теорема о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра Пример применения теоремы Теорема об интегрируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра Теорема о перестановке собственного и несобственного интегралов Пример перестановки двух несобственных интегралов

Лекция 24. Дробное интегрирование и дифференцирование.
Напоминание прошлой лекции Теорема о перестановке двух несобственных интегралов на основе равномерной сходимости Теорема о перестановке двух несобственных интегралов на основе теоремы Арцела Дробное интегрирование и дифференцирование Решение дробных дифференциальных уравнений

Лекция 25. Свертка функций.
Задача Абеля Свертка функции Свойства свертки Дельта-образная последовательность Утверждение о равномерной сходимости свертки Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами

Лекция 26. Свертка периодических функций и ряды Фурье.
Доказательство теоремы Вейерштрасса о приближении функции многочленами Другой способ доказательства теоремы Вейерштрасса Свертка периодических функций Дельта-образная последовательность периодической функции Теорема Вейерштрасса Основные определения рядов Фурье Евклидово линейное пространство Теорема Коши-Буняковского

Лекция 27. Обобщение теоремы Пифагора. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля.
Напоминание прошлой лекции Доказательство неравенства Коши-Буняковского Утверждение о равномерности скалярного произведения Теорема Пифагора Ортонормированные системы и метод Грама-Шмидта Утверждение об ортогональной проекции Экстремальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Теорема об эквивалентности утверждений о полноте Пример применения теоремы

Лекция 28. Сходимость ряда Фурье и ядро Дирихле.
Напоминание прошлой лекции Продолжение доказательства теоремы об эквивалентности утверждений о полноте Следствие из теоремы Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье Ядро Дирихле Лемма Римана Принцип локализации для рядов Фурье Условие Дини сходимости ряда Фурье в точке

Лекция 29. Метод Фурье. Суммирование по Чезаро и ядро Фейера.
Напоминание прошлой лекции Примеры выполнения условия Дини Суммирование по Чезаро и ядро Фейера Коэффициенты ряда Фурье производной Теорема об ограниченности коэффициентов Фурье Утверждение о непрерывности ряда Фурье Метод Фурье Альтернативный вид ряда Фурье

Лекция 30. Свойства преобразования Фурье.
Определение Преобразование Фурье линейной функции Преобразование Фурье специальной функции Преобразование Фурье производной функции Утверждение об инвариантном подпространстве преобразования Фурье Лемма о преобразовании Фурье произведения функций Формулы обращения Обратное преобразование Фурье Преобразование Фурье - линейный изоморфизм в пространстве быстро убывающих функций Преобразование Фурье - изометрия Пример преобразования Фурье Свертка преобразования Фурье