Курс "Математический анализ. Часть 2" читается студентам первого курса механико-математического факультета во 2 семестре

Список всех тем лекций

Лекция 1. Неопределенный интеграл.
Описание курса Первообразная функции Три основных свойства неопределенного интеграла Таблица интегралов История про Александрова и интегралы в его жизни Для чего нужно уметь считать интегралы

Лекция 2. Замены и интегрирование рациональных функций.
Напоминание того, что было на прошлой лекции Интегрирование рациональных функций Замена переменных Примеры интегрирования с помощью замены Универсальная замена Примеры интегралов, которые не выражаются в элементарных функциях

Лекция 3. Пространство R^n.
Пространство R^n Определение R^n Определения базиса и координат вектора Скалярное произведение Неравенство Коши-Буняковского-Шварца Норма Метрика Примеры метрических пространств Определение шара

Лекция 4. Сходимость, полнота, нормированные пространства.
Сходимость последовательности Сходимость по метрике в R^n Теорема Больцано Полнота метрического пространства R^n полное Преобразование неполного пространства в полное Нормированное пространство Арифметика пределов в нормированном пространстве Нормы в R^n

Лекция 5. Эквивалентность норм в R^n. Ряды. Пространство ограниченных функций.
Эквивалентность норм в R^n Банахово пространство Ряды Нахождение нормы в нём Определение e^A Равномерная сходимость Пример метрики задающей поточечную сходимость

Лекция 6. Пространство ограниченных функций.
Как нужно понимать R^n Пространство ограниченных функций Пример того, когда метрики нет Отличия поточечной и равномерной сходимости В(Х) - банахово пространство Признак Вейерштрасса Пример применения Теорема о непрерывности С[a,b] - банахово пространство Дифференцируемость равномерной сходимости Теорема о равномерной сходимости

Лекция 7. Открытые и замкнутые множества. Замыкание множества.
Замечания к последней теореме с прошлой лекции Следствие о линейном пространстве Пример двух неэквивалентных норм Открытые и замкнутые множества Свойства открытых и замкнутых множеств Определения внутренней, граничной и предельной точек Эквивалентные определения замкнутого множества Замыкание множества

Лекция 8. Компакты.
Замкнутый шар Утверждение об открытых множествах Компакты Обобщение леммы Гейне-Лебега-Бореля Свойства компактов Критерий компактности в R^n Следствие о последовательности точек компакта Пространство непрерывных функций Теорема о конечномерном пространстве

Лекция 9. Предел функции.
Теорема о конечномерном пространстве Предел функции (по Гейне) Предел функции (по Коши) Критерий Коши Непрерывность функции в точке

Лекция 10. Непрерывные функции.
Непрерывность функции в точке Рассуждения о непрерывности Утверждение о непрерывности Утверждение о композиции непрерывных функций Теорема о прообразе открытого множества Теорема Вейерштрасса Теорема Кантора о равномерной непрерывности Связные множества в метрическом пространстве

Лекция 11. Связные множества в метрическом пространстве.
Рассуждения о теореме с прошлой лекции Теорема о несвязном метрическом пространстве Теорема о связном метрическом пространстве Утверждение о связном множестве на числовой прямой Теорема о линейной связности метрического пространства Утверждение об открытом и связном множестве в нормированном пространстве Линейный оператор Теорема о линейной функции

Лекция 12. Дифференцируемые функции.
Краткое содержание прошлой лекции Теорема о линейной функции Определение дифференцируемости в точке Утверждение о дифференцируемости в точке Теорема о существовании линейного непрерывного отображения Определение производной функции по вектору Определение дифференциала Частные случаи Определения частной производной и градиента Утверждение о максимуме Метод градиентного спуска

Лекция 13. Дифференцируемые функции (продолжение).
Краткое содержание прошлой лекции Пример Пример дифференцируемой функции Утверждение о достаточном условие дифференцируемости в терминах частных производных Линейность Правило Лейбница Дифференцирование сложной функции Дифференцирование обратной функции

Лекция 14. Дифференцируемые функции (продолжение).
Композиция дифференциалов Частный случай Иллюстрация дифференцирования обратной функции Идея Теорема Банаха о сжимающем отображении Замечание об отличиях неподвижных точек Идея

Лекция 15. Теорема об обратной функции.
Теорема об обратной функции Доказательство теоремы об обратной функции Доказательство в одномерном случае Двумерный случай

Лекция 16. Теорема о неявных функциях.
Линии уровня Замкнутые множества и множества уровня Утверждение о существовании непрерывной дифференцируемой функции Двумерный случай Теорема о неявных функциях Двумерный случай

Лекция 17. Теорема о функциональной зависимости.
Исправление недочетов в доказательстве теоремы о неявной функции Одинаковые и разные линии уровня двух функций Определение функционально независимых функций Двумерный случай Формулировка общей теоремы о функциональной зависимости Производные высокого порядка

Лекция 18. Функции нескольких переменных.
Иллюстрация к теореме о функциональной зависимости Теорема Шварца Теорема Юнга Определение m раз дифференцируемой функции Следствие из теоремы Юнга

Лекция 19. Функции нескольких переменных (продолжение).
Напоминание: формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Локальный экстремум Необходимое условие локального экстремума Достаточное условие локального экстремума Условный экстремум Необходимое условие условного экстремума Правило множителей Лагранжа

Лекция 20. Интеграл Римана.
Интеграл Римана Предел по базе Примеры интегрирования Функция Дирихле Пример интегрирования Ограниченность функции, интегрируемой по Риману Линейность Монотонность Первая теорема о среднем Теорема о пределе равномерно сходящихся интегралов

Лекция 21. Интеграл Римана (продолжение).
Повтор теоремы с прошлой лекции Следствие (интегрируемость непрерывной функции по Риману) Следствие (интегрируемость монотонной функции по Риману) Аддитивность Об интегрируемости функций Следствие (свойства аддитивности интеграла) Первообразная непрерывной функции Формула Ньютона-Лейбница Формула интегрирования по частям Формула замены переменных

Лекция 22. Интеграл Римана. Суммы и интегралы Дарбу.
Сумма и интеграл Дарбу Свойства сумм Дарбу Определения нижнего и верхнего интегралов Дарбу Критерий Дарбу Следствие интегрируемости функции по Риману Колебание и критерий Дарбу в данных терминах Определение множества меры нуль по Лебегу Как же Лебег предложил измерять длины? Примеры множеств, имеющих меру нуль по Лебегу Простейшие свойства множеств меры нуль Определение "свойство выполнено почти всюду" Критерий Лебега

Лекция 23. Интеграл Римана. Критерий Лебега и его следствия.
Доказательство критерия Лебега Следствие (интегрируемость непрерывной на отрезке функции) Утверждение об интегралах непрерывных функций Утверждение о равенстве функции нулю Теорема об интегрируемости функции на отрезках Свойства интеграла с переменным верхним пределом от интегрируемой функции Утверждение о непрерывности функции Утверждение о дифференцируемости

Лекция 24. Интеграл Римана (продолжение).
Вопросы по теме лекции Краткое содержание прошлой лекции Утверждение о почти всюду дифференцируемой функции Формула замены переменной Утверждение о множествах меры нуль Формула замены переменной Приложения Утверждение о дифференцируемой и интегрируемой по Риману функции

Лекция 25. Лемма Морса.
План лекции Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Перенос формулы Тейлора для функции одной переменной на формулу Тейлора для функции многих переменных Лемма Адамара Частный случай Лемма Морса