Обязательный курс по вариационному исчислению и оптимальному управлению для студентов 4-го курса механико-математического факультета.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Вводная лекция.
Описание курса Задача Дидоны Задача Аполлония Задача о брахистохроне Транспортная задача Задача о быстродействии Задача Ньютьона Литература

Лекция 2. Основные понятия.
Простейшая задача вариационного исчисления Допустимая функция Точка минимума (максимума) Слабый локальный максимум (минимум) Уравнение Эйлера Лемма Дюбуа-Раймона Доказательство теоремы Доказательство леммы Пример Первый интеграл уравнения Эйлера Пример 1 Пример 2

Лекция 3. Задача о брахистохроне.
Задача о брахистохроне Закон Галилея Задача о брахистохроне (продолжение) Задача Больца

Лекция 4. Задача Больца.
Задача о брахистохроне (разбор сложного момента) Задача Больца Теорема Задача Больца (продолжение) Повторение основ функционального анализа

Лекция 5. Факторпространство банахова пространства.
Факторпространства Лемма 1 Лемма 2 Базовые теоремы и следствия

Лекция 6. Базовые теоремы и их следствия.
(вторая теорема отделимости) Лемма (о нетривиальности аннулятора) Лемма (о замкнутости образа) Теорема (об аннуляторе ядра) Дифференциальное исчисление в нормированных пространствах

Лекция 7. Дифференциальное исчисление в функциональных пространствах.
Необходимые определения Некоторые свойства Теорема 1 Теорема 2

Лекция 8. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные.
Теорема Лагранжа (для функции одной переменной) Теорема (о среднем) Следствие из теоремы Теорема Дифференцирование в произведении пространств Теорема (о полном дифференциале)

Лекция 9. Оператор дифференциальной связи.
Оператор Немыцкого Теорема Оператор дифференциальной связи Интегральные отображения Задача

Лекция 10. Оператор краевых условий. Теорема Люстерника.
Интегральные отображения с переменными пределами интегрирования Оператор краевых условий Лемма (о правом обратном операторе) Теорема (об оценке расстояния)

Лекция 11. Теорема Люстерника. Принцип Лагранжа.
Теорема (об оценке расстояния) Касательные векторы Теорема Люстерника (о касательном пространстве) Постановка задачи Принцип Лагранжа

Лекция 12. Выпуклые экстремальные задачи.
Принцип Лагранжа  Выпуклые функции и множества Выпуклые экстремальные задачи Предложение 1 Принцип Лагранжа для выпуклых задач Теорема (Кун-Таккер)

Лекция 13. Принцип максимума для задач оптимального управления.
Теорема (Кун-Таккер) Постановка задачи Необходимые условия Лагранжа

Лекция 14. Принцип максимума Понтрягина.
Задача 1 Игольчатая вариация Лемма 1