Семинарские занятия по курсу аналитической геометрии на механико-математическом факультете МГУ

Список всех тем лекций

Семинар 1. Составление уравнений кривых на плоскости.
Введение Постановка темы семинара (нахождение кривой) (Про конхоиду Никомеда)

Семинар 2. Эллипс и его простейшие свойства.
Уравнение эллипса, повторение материала лекций Формулировка темы семинара, отсылка к задачам в учебнике Задача (нахождение геометрического места точек) Задача (определение наибольшего и наименьшего значений для отношений в эллипсе)

Семинар 3. Коники и их простейшие свойства.
Введение Задача на нахождение длины отрезка Задача про геометрическое место точек Задача про геометрическое место точек, симметричных фокусу невырожденной линии 2-ого порядка Задача на полярную систему координат

Семинар 4. Элементы векторной алгебры. Часть 1.
Введение Геометрическая задача на векторы на плоскости 1 Геометрическая задача на векторы на плоскости 2 Геометрическая задача на векторы на плоскости 3 Геометрическая задача на векторы в пространстве

Семинар 5. Элементы векторной алгебры. Часть 2.
Введение Задача на операции с векторами Задача на операции с векторами (решение линейных систем) Задача на операции с векторами (установление зависимости между векторами)

Семинар 6. Скалярное произведение векторов.
Введение Задача (скалярное произведение векторов) Задача (угол между векторами) Задача (комбинированная задача на векторы) Задача (скалярное произведение векторов в координатах) Задача (скалярное произведение векторов в координатах, с предварительным нахождением координат вектора) Задача (нахождение единичного вектора) Задача (ортогональная проекция) Задача (про биссектрису)

Семинар 7. Ориентация, ориентированная площадь, векторное и смешанное произведения.
Введение Повторение материала лекций Задача (определение ориентации базиса) Задача (вычисления с помощью ориентированной площади) Задача (ориентированный угол между векторами) Задача (ориентированный объем) Задача (векторное произведение) Задача (векторное произведение) Задача (векторное произведение) Задача (вычисление площади параллелограмма) Задача (ориентированный объем)

Семинар 8. Различные уравнения прямой.
Введение Задача (общее уравнение прямой) Задача (общее уравнение прямой) Задача (общее уравнение прямой, обратная задача) Задача (общее уравнение прямой, обратная задача) Задача (уравнение прямой, комбинированная задача) Задача (полуплоскости) Задача (пересечение прямой и отрезка) Задача (определение положения прямой)

Семинар 9. Взаимное расположение прямых на плоскости. Метрические задачи на прямую. Перпендикуляр, углы и расстояния.
Введение Задача (взаимное расположение двух прямых) Задача (взаимное расположение трех прямых) Метрическая задача про перпендикуляр Задача про симметричную точку Задача про расстояние от точки до прямой

Семинар 10. Составление уравнений плоскостей. Взаимное расположение плоскостей. Линейные неравенства в пространстве.
Повторение материала лекций Задача на написание общего уравнения плоскости Задача на написание уравнения плоскости, проходящей через точку Задача на написание уравнения плоскости, проходящей через три точки Задача на взаимное расположение плоскостей Задача на взаимное расположение трех плоскостей Задача на составление уравнения плоскости, содержащей линию пересечения двух других плоскостей Задача на пересечение плоскости и отрезка

Семинар 11. Составление уравнений прямых и плоскостей в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Метрические задачи в пространстве.
Повторение материала лекций Задача на нахождение направляющего вектора пересечения плоскостей Задача на нахождение параметрического уравнения линии пересечения плоскости и координатной плоскости Задача на составление уравнения плоскости, проходящей через точку и содержащую прямую Задача на взаимное расположение прямой и плоскости Задача на взаимное расположение двух плоскостей Задача на нахождение уравнения плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору Задача на нахождение плоскостей, перпендикулярных данной Задача на нахождение уравнения перпендикуляра Задача на нахождение расстояния от точки до прямой Задача на нахождение симметричной точки

Семинар 12. Аффинная и ортогональная замена координат.
Повторение материала лекций Задача на нахождение формул преобразования координат Задача на нахождение новых координат точки

Семинар 13. Преобразование уравнений при замене координат. Цилиндрические и сферические координаты. Составление уравнений кривых. 2-ого порядка.
Повторение материала лекций Задача на нахождение координат Задача на нахождение сферических координат Задача на нахождение цилиндрических координат Задача на нахождение уравнения параболы

Семинар 14. Приведение квадрик к каноническому виду ортогональными преобразованиями. Часть 1.
Повторение материала лекций Задача на нахождение канонического вида линий 2-ого порядка

Семинар 15. Приведение квадрик к каноническому виду ортогональными преобразованиями. Часть 2. Ортогональные инварианты линий 2-ого порядка.
Повторение материала лекций Задача на нахождение канонического вида линий 2-ого порядка Задача на составление канонических уравнений линий, если заданы их инварианты

Семинар 16. Ортогональные инварианты. Линии 2-ого порядка. Пучки и связки линий 2-ого порядка. Часть 1.
Введение Задача (на уравнение кривой 2-го порядка) Задача (составление уравнения линии 2-ого порядка)

Семинар 17. Ортогональные инварианты. Линии 2-ого порядка. Пучки и связки линий 2-ого порядка. Часть 2.
Введение Задача (составление уравнения линии 2-ого порядка) Задача (составление уравнения хорды)

Семинар 18. Диаметры, взаимно сопряженные и асимптотические направления линий второго порядка.
Повторение материала лекций Задача (составление уравнения прямой, проходящей через середину хорды) Задача (составление уравнения диаметра кривой) Задача (нахождение хорды, которая делится точкой пополам) Задача (нахождение общего диаметра двух кривых) Задача (нахождение осей симметрии)

Семинар 19. Приведение квадрик к каноническому виду.
Введение Задача на приведение квадрики к каноническому виду

Семинар 20. Касательные к линии второго порядка. Поляритет.
Введение Задача на составление уравнения касательных к эллипсу Задача на составление уравнения общих касательных к эллипсам Поляритет Задача на нахождение поляры точки Задача на нахождение полюса прямой относительно линии второго порядка

Семинар 21. Поляритет. Аффинные преобразования.
Введение Задача на нахождение полярно-сопряженной точки Задача на составление уравнения прямой Задача на аффинные преобразования плоскости Задача на нахождение формулы аффинного преобразования Задача на нахождение формулы аффинного преобразования (сложный случай)

Семинар 22. Изометрические преобразования.
Введение Задача на нахождение изометрического преобразования Задача на нахождение изометрического преобразования пространства

Семинар 23. Аффинные типы плоских квадрик. Составление уравнений поверхности. Простейшие свойства поверхностей второго порядка.
Введение Задача на определение аффинного типа квадрик Задача на составление уравнения сферы Задача на нахождение линии пересечения

Семинар 24. Приведение поверхностей к каноническому виду. Часть 1.
Задача на нахождение канонического вида поверхности

Семинар 25. Прямолинейные образующие. Плоские сечения поверхностей 2-го порядка.
Задача на нахождение угла между прямолинейными образующими Задача на нахождение линии пересечения Задача на нахождение вида линии пересечения поверхностей

Семинар 26. Диаметральные плоскости. Ортогональные инварианты поверхностей 2-го порядка.
Задача на определение направления хорд Задача на определение уравнения поверхности

Семинар 27. Аффинная классификация квадрик в пространстве. Касательные плоскости.
Задачи на аффинные преобразования Задача на составление уравнение плоскости

Семинар 28. Приведение поверхностей к каноническому виду. Часть 2.
Задача на нахождение канонического вида поверхности, которая не имеет центра

Семинар 29. Проективная плоскость.
Повторение материала лекций Задача на нахождение аффинных координат Задача на нахождение уравнения прямой

Семинар 30. Проективная плоскость. Проективная прямая.
Задача на нахождение точки пересечения прямых Задача на нахождение ангармонического отношения Задача на ангармоническое отношение (обратная предыдущей) Задача на ангармоническое отношение  Задача на проективную замену координат Задача на проективное преобразование прямой Задача на проективное преобразование плоскости Задача на проективное преобразование прямых

Семинар 31. Линии 2-ого порядка в проективных координатах.
Задача на определение проективного класса с помощью метода Лагранжа Задача на нахождение проективного преобразования Задача на нахождение преобразования уравнения параболы Задача на нахождение проективного преобразования эллипса