Войти
Математика 31 лекция
Аналитическая геометрия
561
0
Лектор
Пенской Алексей Викторович
#лекции
1 курс
Механико-математический факультет
I семестр
2019

Список всех тем лекций

Лекция 1. Геометрическая теория конических сечений.
Историческая часть Геометрическая теория конических сечений Определения эллипса, гиперболы и параболы Доказательство того, что в сечении конуса может получиться эллипс (гипербола аналогично) Доказательство того, что в сечении конуса может получиться парабола Оптические свойства коники Эллиптические ортогональные координаты

Лекция 2. Свойства коник. Аналитический подход Декарта.
Определение касательной к конике Оптическое свойство эллипса Оптическое свойство параболы Конфокальные коники Системы координат Определение эллипса и доказательство эквивалентности

Лекция 3. Свойства коник. Продолжение.
Свойства эллипса Аналитическое задание гиперболы и ее свойства Аналитическое задание параболы и ее свойства Характеристические числа коники Уравнения коники в полярных координатах

Лекция 4. Векторная алгебра.
Понятие вектора в двухмерном пространстве Понятие вектора в трехмерном пространстве Аксиомы векторного пространства Линейная комбинация.

Лекция 5. Векторная алгебра. Продолжение.
Доказательство лемм о линейной зависимости/независимости Ортогональный базис, нормированный базис Связь координат с операциями над векторами Аффинное пространство Деление отрезка в заданном отношении Скалярное произведение и его свойства

Лекция 6. Ориентированные площадь и базис.
Скалярное произведение Ориентированные площадь Ориентированный базис

Лекция 7. Ориентированный объем. Векторное произведение.
Еще немного про ориентированную площадь Ориентированное пространство Векторное и смешанное произведения Ориентированный объем Свойства смешанного произведения Свойства векторного произведения Ориентированный объем Тождества "бац - цаб", Якоби

Лекция 8. Алгебраические кривые.
Алгебра Ли Прямые в плоскости Полуплоскости Пучки прямых

Лекция 9. Прямые в пространстве, пучки прямых.
Пучки прямых Нормальный вектор Расстояние от точки до прямой Угол между прямыми Прямые в пространстве

Лекция 10. Ранг матрицы, полупространства, пучки плоскостей.
Критерий совместности системы линейных уравнений Расположение плоскостей в пространстве Полупространства Пучок плоскостей Связка плоскостей

Лекция 11. Прямая и плоскость в прямоугольной системе координат.
Доказательство теоремы о связке плоскостей Вектор нормали к плоскости Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Способы задания прямых Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до прямой в пространстве Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми Переход к новой системе координат

Лекция 12. Переход к новому базису.
Переход к ортонормированному базису Ортогональные матрицы Группа SO(2) Линия узлов

Лекция 13. Кривые второго порядка.
Цилиндрические и сферические координаты в пространстве Проекция вектора на другой вектор Пучок плоскостей Общие утверждения Теорема о классификации квадрик

Лекция 14. Классификация квадрик. Инвариант.
Продолжение Типы кривых, задаваемых квадриками Ортогональный инвариант Доказательство того, что S, Δ, δ -- инварианты Инварианты в зависимости от типа кривых второго порядка Полуинвариант

Лекция 15. Классификация квадрик. Единственность квадрик.
Характеристический многочлен для матрицы A и число K Полная классификация квадрик Распадающиеся кривые Симметрические многчлены Теорема единственности для кривых второго порядка

Лекция 16. Теорема Паскаля.
Единственность Вспомогательные утверждения Начало

Лекция 17. Теорема Паскаля.
Продолжение Доказательство Асимптотические направления

Лекция 18. Неасимптотические направления. Центры симметрии.
Середины хорд неасимптотических прямых Центры симметрии квадрик Сопряженные диаметры

Лекция 19. Оси квадрик. Главные направления.
Продолжение и повторение Главное направление Характеристический многочлен матрицы Алгоритм приведения квадрик к каноническому виду

Лекция 20. Касательные. Полярное соответствие.
Продолжение Касательные к квадрикам Полярное соответствие

Лекция 21. Полярное соответствие. Аффинные преобразования.
Продолжение Теорема Брианшона Аффинные преобразования и изометрии

Лекция 22. Аффинные преобразования и изомерии. Теорема Шаля.
Напоминание и продолжение Теорема Шаля (сдвиг и поворот) Теорема Шаля (скользящая симметрия) Изомерии в пространстве Действие аффинных преобразований на кривые Действие группы на множестве

Лекция 23. Аффинные преобразования и изомерии. Теорема Шаля.
Изомерии Эквивалентность квадрик Эрлангенская программа Клейна Начало

Лекция 24. Поверхности второго порядка.
Продолжение Эквивалентность, инварианты поверхностей второго порядка Эллипсоид Однополостный гиперболоид

Лекция 25. Типы поверхностей второго порядка.
Двуполостный гиперболоид Эллиптический параболоид Гиперболический параболоид

Лекция 26. Свойства поверхностей второго порядка. Эквивалентность.
Конус Три типа цилиндров и семейства прямых их образующие Асимптотические направления, диаметры, центры симметрии поверхностей второго порядка Метрическая и аффинная классификации поверхностей

Лекция 27. Метод Лагранжа, касательные к поверхности, приложения.
Завершение доказательства теоремы об аффинной классификации Метод Лагранжа Особенные точки Устройство аффинных преобразований Второе доказательство теоремы Брианшона

Лекция 28. Элементы проективной геометрии.
Методы построения Аффинно-проективная плоскость и простейшие определения Аксиоматика Теорема Дезарга Координаты

Лекция 29. Квадрики в проективной геометрии.
Напоминание прошлой лекции Напоминание и другой способ задания Квадрики в проективной геометрии Сопряженные диаметры

Лекция 30. Элементы проективной геометрии.
Проективные преобразования Аффинные преобразования Центральная проекция Двойное отношение четырех точек Полный четырехсторонник

Лекция 31. Коники в проективной геометрии.
Двойное отношение сохраняется при центральной проекции Теорема о проективной классификации квадрик Рациональная параметризация коник Двойное отношение четырех точек на квадрике Двойное отношение четырех точек на конике сохраняется при проективных преобразованиях