Страница курса: https://fmmp.math.msu.ru/cours...

Список всех тем лекций

Лекция 1. Теорема Гильберта о нулях.
Из прошлой лекции: аффинные алгебраические многообразия Лемма (Зарисского, Артина-Тейта) Ещё одно доказательство леммы Следствие Другое следствие Теорема Гильберта о нулях Доказательство теоремы Следствие

Лекция 2. Регулярные функции.
Регулярные функции Примеры регулярных функций Наблюдения Утверждение Теорема Примеры Регулярные отображения Примеры Замечания Наблюдение Предложение Изоморфизм многообразий Примеры Критерий Примеры

Лекция 3. Структура регулярных отображений.
Ликбез по прошлой лекции Предложение Аналогичное утверждение про сюръективность Лемма Накаямы Следствие Примеры Предложение (конечное регулярное отображение сюръективно) Замечание (пример аффинных многообразий) Как устроен образ регулярного отображения

Лекция 4. Рациональные функции и отображения.
Продолжение доказательства теоремы из прошлой лекции Лемма Теорема Шевалле Теорема Рациональные функции и отображения Примеры Наблюдение Наблюдение Бирациональные отображения

Лекция 5. Размерность.
Обсуждение одного отображения из прошлых лекций Утверждение Лемма (внутри утверждения, но обобщённее) Размерность Теорема Предложение Замечания Упражнение

Лекция 6. Унирациональность. Теорема Люрота. Теорема Нётер.
Унирациональность Теорема Люрота Многомерный случай Теорема Нётер о нормализации Следствие Упражнения

Лекция 7. Теорема Крулля о главных идеалах.
(повторение) Радикал Джекобсона Лемма Накаямы-2 Размерность кольца Высота идеала Леммы Теорема Крулля о главных идеалах

Лекция 8. Размерности слоев регулярных отображений аффинных многообразий.
Комментарий к курсу Утверждение о размерности неприводимых компонент Повторение Утверждения о размерности неприводимых компонент (доказательство) Следствия Пример Теорема Полунепрерывная сверху функция Теорема о полунепрерывности

Лекция 9. Гладкость и касательные пространства.
Полунепрерывная функция Теорема о размерности неприводимых компонент слоев (повторение) Локальная размерность многообразия Теорема о размерности слоев "Идеальная теорема" о полунепрерывности Дополнительное предположение Примеры Примеры невыполнения "идеальной теоремы" Касательные пространства Определение касательного пространства Примеры Теорема о полунепрерывности Постановка цели Лемма

Лекция 10. Гладкие и особые точки многообразий (продолжение).
Повторение Инвариантное определение касательного пространства Теорема о равенстве размерностей неприводимого многообразия и касательного подпространства к нему в гладкой точке Нормальное многообразие Критерий невырожденности формы следа на конечном расширении полей Лемма

Лекция 11. Особенности нормальных многообразий.
Повторение Следствие из леммы Другое расширение полей Теорема о существовании бирационального отображения у неприводимого аффинного многообразия Теорема

Лекция 12. Коразмерность множества особых точек.
Вспомогательное утверждение (доказательство) Конструкция нормализации Теорема о коразмерности множества особых точек

Лекция 13. Квазипроективные многообразия.
Введение Проективное пространство Определения Наблюдение (подмножества, покрывающие проективное пространство) Лемма об идеалах, задающих пустые множества в проективном пространстве Регулярные функции Пример Регулярное отображение Изоморфизм квазипроективных многообразий Произведение квазипроективных многообразий

Лекция 14. Проективные и квазипроективные многообразия.
Повторение Пример Теорема (формулировка) Лемма 1 Лемма 2 Следствия Упражнения

Лекция 15. Прямые на поверхностях в проективном пространстве размерности 3.
Повторение Предупреждение (о неудачном переносе понятия) Следствия из теоремы о замкнутости образа проективного многообразия Теорема Тзена Достаточное условие неприводимости проективного многообразия Прямые на поверхностях в проективном пространстве размерности 3 Теорема о существовании прямой на кубике Ответы на вопросы Более высокие уровни абстракции