Семинары по курсу высшей алгебры (3 семестр)

Список всех тем лекций

Семинар 1. Общие свойства операций.
Алгебраическая структура Нейтральный элемент Единственность обратного элемента Примеры Изоморфизм Задача Формула включений-исключений Обратимые элементы Кольцо

Семинар 2. Сопряжения в группах.
(из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) (из домашнего задания) г (из домашнего задания) в (из домашнего задания) Сопряжения в группах Задача 2.8 Класс сопряженности Примеры Контрольные вопросы по теме

Семинар 3. Классы сопряжённости.
Задача 2.5 Классы сопряжённости Задача (сопряжённость) (из домашнего задания) Нормальные подгруппы Конгруэнция Теорема Свойства нормальных подгрупп

Семинар 4. Смежные классы.
Задача 3.6 Пример описания смежных классов (аффинная группа) Задача 3.7 Обращение теоремы Лагранжа Теорема Коши Теорема (классифицировать группы порядка 2р с точностью до изоморфизма) Операция на смежных классах Первая теорема о гомоморфизме (д) (е) Прямые произведения групп Примеры разложения групп в прямое произведение

Семинар 5. Абелевы группы.
(из домашнего задания) Теорема Фробениуса-Штикельбергера (из домашнего задания) (из домашнего задания) Конечные абелевы группы Пример Задача 4.3 Схема доказательства теоремы Фробениуса-Штикельбергера Согласованные базисы Теорема о согласованных базисах Задачи (найти факторгруппу) Задача 6.7 Домашнее задание Аналогия с векторными пространствами

Семинар 6. Абелевы группы (продолжение). Коммутант.
Задача 6.7 Задача 6.6 Задача 60.54 Теорема Кантора-Бернштейна для абелевых групп Коммутант Примеры

Семинар 7. Коммутант. Действия групп.
Задача 8.3 Задача 8.4 Классификация групп малых порядков Задача 8.5 Задача (о конечном коммутанте) Универсальное свойство коммутанта в Действия групп Задача 7.2 Домашнее задание Метод резольвент

Семинар 8. Доказательство Фробениуса теорем Силова.
Двойные смежные классы Следствие (найти порядок двойного смежного класса) Теоремы Силова Первая теорема Силова Вторая теорема Силова Третья теорема Силова Классификация групп порядка pq Пример

Семинар 9. Автоморфизмы групп.
Автоморфизмы групп Группы автоморфизмов нециклических групп малых порядков Силовские подгруппы Применение теорем Силова

Семинар 10. Теория представлений групп.
Задача (найти нормализатор заданной подгруппы) Полупрямые произведения групп Задача (из домашнего задания) Дополнительные задачи (найти все натуральные n, при которых всякая группа порядка n - циклическая; найти все натуральные n, при которых всякая группа порядка n - абелева) Теорема Бертрана Теория представлений групп Примеры

Семинар 11. Разбор задач контрольной работы по теме "Группы".
(вариант 1) (вариант 2) (вариант 1) (вариант 2) (вариант 1) (вариант 2) (вариант 1) (вариант 2) (вариант 1) (вариант 2) (вариант 1) (вариант 2) Ответы на вопросы студентов

Семинар 12. Характеры представления группы.
Характер представления группы Пример (группа S3) Пример (группа S4) Теорема Пример Регулярное представление Одномерные представления абелевых групп и соответствующие разложения групповых алгебр в прямую сумму идеалов

Семинар 13. Кольца, алгебры и модули. Часть 1.
Задача 70.37 Задача 70.38 Кольцо Алгебра Идеал Простое кольцо Конгруэнция Примеры (факторизация многочлена) Идеал поля

Семинар 14. Кольца, алгебры и модули. Часть 2.
Разбор задач из домашнего задания Нильпотенты, идемпотенты, делители нуля Пример Замечание (прямая сумма идеалов) Задача 11 Задача Пример (задача про монеты) Алгебраические расширения полей Лемма о размерности башни

Семинар 15. Сопряжённые алгебраические элементы.
Вопросы для разминки Сопряжённые алгебраические элементы Нормальные расширения Факты о сопряжённых числах Нормальные конечные расширения (теорема) Конечные поля

Семинар 16. Теорема о представлениях конечной группы.
Теорема о представлениях конечной группы Модуль над кольцом  Подмодуль (понятие) Факты о модулях Лемма Шура Доказательство теоремы (п.1)