Семинары по курсу высшей алгебры (3 семестр). Рассматриваются группы, подгруппы, факторгруппы, гомоморфизмы, конечнопорождённые абелевы группы, действия групп, коммутант, разрешимые группы, силовские подгруппы, теория представлений, кольца, алгебры, идеалы, теория полей, расширения полей, конечные поля, алгебры с делением.

Страница курса: http://halgebra.math.msu.su/wi...

Список всех тем лекций

Семинар 1. Теория групп.
Группа (понятие) Сравнение мультипликативной и аддитивной терминологии Примеры групп Изоморфизм Задачи для самостоятельного решения

Семинар 2. Сопряженность.
из домашнего задания Решение задачи про матричные группы (из домашнего задания) Сопряженность Классы сопряжённости Свойство сопряжённости Отношение сопряжённости в группе подстановок Сопряжённость в группе диэдра Теорема Лагранжа

Семинар 3. Нормальные подгруппы.
Сопряжённость в группе чётных подстановок (объяснение решения задач из домашнего задания) б (из домашнего задания) (из домашнего задания) Задача (классификация групп порядка 4) Классификация конечных групп Нормальные подгруппы Примеры нормальных подгрупп а в Домашнее задание

Семинар 4. Гомоморфизм групп.
Классы сопряженности в группе А4 Фактор-группы Гомоморфизм групп Основная теорема о гомоморфизме Применение теоремы к вычислению фактор-групп (вычисление фактор-группы) (вычисление фактор-группы) б Автоморфизм Автоморфизм циклических групп б а Домашнее задание Автоморфизм произвольных групп

Семинар 5. Прямое произведение групп.
Задача (о группе автоморфизмов из домашнего задания) а (из домашнего задания) б (из домашнего задания) Внутреннее прямое произведение Внешнее прямое произведение Утверждение (внутреннее произведение групп и внешнее прямое произведение эквивалентны). Тривиальные разложения Задача (можно ли разложить данную группу в прямую сумму двух своих подгрупп) Задача (можно ли разложить данную группу в прямую сумму двух своих подгрупп) Задача (можно ли разложить данную группу в прямую сумму двух своих подгрупп) Задача (можно ли разложить данную группу в прямое произведение двух своих подгрупп) Задача (можно ли разложить данную группу в прямое произведение двух своих подгрупп) Задача (можно ли разложить в прямую сумму группу вычетов по модулю m) Задача (можно ли разложить данную группу в прямую сумму двух своих подгрупп) Домашнее задание Обобщение прямого произведения Примеры

Семинар 6. Системы, порождающие группы.
(из домашнего задания) Разложение группы диэдра в полупрямое произведение Разложение обратимых матриц над полем К Системы, порождающие группы (определение) Случай конечнопорожденных абелевых групп Примеры Домашнее задание Базис Произвольная конечнопорождённая абелева группа б

Семинар 7. Конечные абелевы группы.
(из домашнего задания) Решение задачи 60.52 Решение задачи 60.51 Объём целочисленного параллелепипеда Конечные абелевы группы (д) (г) (б)

Семинар 8. Конечные абелевы группы (решение задач). Действия групп на множествах.
Задача про объём целочисленного параллелепипеда (из домашнего задания) Задача 60.41 а Действия группы на множестве Орбита (понятие и свойства) а Домашнее задание

Семинар 9. Стабилизаторы.
б (из домашнего задания) а Свойства стабилизаторов Правильные многогранники Двойственность правильных многогранников Группы, связанные с правильными многогранниками Действие группы G на самой себе а Формула класса

Семинар 10. Коммутаторы и коммутанты.

Семинар 11. Силовские подгруппы.
Силовские подгруппы Теоремы Силова п.б а, б, в Силовские подгруппы произведения двух подгрупп Арифметика конечных групп п.б п.б

Семинар 12. Теория представлений. Часть 1.
п.а (из домашнего задания) (из домашнего задания) Задача (доказать, что группа коммутативна) Матричное представление Примеры Решение задачи №69.8 Приводимое и неприводимое представления Как искать инвариантное подпространство Пример

Семинар 13. Теория представлений. Часть 2.
Теорема Машке Задача 69.1 Задача (описать все неприводимые представления в конечной абелевой группе) Пример (нецикличная абелева группа) Описание одномерных представлений Задача (описать все одномерные представления) Общий случай Описание неприводимых конечных представлений группы Описание двумерных неприводимых представлений

Семинар 14. Кольца, алгебры и поля.
Кольца (понятие) Понятие алгебры, как математической структуры п.а Идеал в кольце/алгебре п.а Факторкольцо и факторалгебра Задача (присоединение корня)